3.9 Das Potential eines Quaders als Randwertaufgabe
Endlich steht hier ein Potentialproblem zu Diskussion, das von der
üblichen Symmetrie abweicht. Eine Diskussion mit Hilfe von
kartesischen Koordinaten ist hier gefragt. Die allgemeine Lösung der
Laplacegleichung muss hier erarbeitet und die Entwicklungskoeffizienten
mittels der vorgegebenen Randbedingungen bestimmt werden. Die
Randbedingungen beinhalten die Vorgabe von Potentialwerten auf den
Quaderflächen auf der einen, sowie die Vorgabe einer
Flächenladungsverteilung auf der anderen Seite.
Konzeptuell ist dies ein Vorgriff auf Kap. 4, in dem der erste Typ
von Randwertaufgaben als Dirichletproblem, der zweite (indirekt) als
Neumannproblem bezeichnet wird. Das Lösungsverfahren selbst wurde aber
schon in Kap. 3 dargestellt.
Aufgabenstellung
Bestimme das Potential in einem Quader mit den Kantenlängen 
in 
-Richtung (Abb. 0.1)
Abbildung 0.1:
Der Quader
 |
durch Lösung der Laplacegleichung in
kartesischen Koordinaten für die folgenden Randbedingungen
- (i)
- Das Potential hat den Wert Null auf allen Seitenflächen
außer der
Deckelfläche (
), für die das Potential die
Form
annehmen soll (Abb. 0.2).
Abbildung 0.2:
Randbedingung (i) auf der Deckelfläche
 |
- (ii)
- Die Potentialvorgabe entspricht dem Fall (i) für die Seitenflächen
jedoch soll nun die
Bodenfläche (
) den Wert 
, die Deckelfläche den Wert 
annehmen
(Abb. 0.3).
Abbildung 0.3:
Zur Randbedingung (ii) Gesamtansicht
 |
- (iii)
- Alle Flächen des Quaders sind ladungsfrei, auf der Deckelfläche ist die
Ladung
als Flächenladung verteilt. Die Flächenladungsdichte 
ist also
Rechne im CGS System.
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
Aufruf
der Lösung
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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
