Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.1

1. Wähle ein dem Problem angepasstes Koordinatensystem   und mache einen Ansatz für die Potentiale in den beiden Teilräumen.
2. Diskutiere die Anschlussbedingungen   für die Potentiale in den beiden Teilräumen und mögliche Ansätze für die Potentiale.
3. Versuche einen brauchbaren Ansatz für die Potentiale   zu finden.
4. Bestimme die unbekannten Ladungen   mit Hilfe der zwei Anschlussbedingungen.
5. Welche Aussagen gewinnt man für die Spezialfälle   , und ? Diskutiere.
6. Gib die Verteilung der Polarisationsladungen   auf der Trennschicht an.
7. Berechne die auf der gesamten Trennschicht vorhandene Polarisationsladung.  
8. Berechne das elektrische Feld   in beiden Teilräumen.

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4.1 Antwort zu H1

Man wählt das Koordinatensystem zweckmäßigerweise so, dass die Trennebene einer Koordinatenebene, z.B. der - Ebene (), entspricht und die Ladung plus die Spiegelladung(en) auf der -Achse angebracht sind (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Details

   Diskutiere die Anschlussbedingungen   für die Potentiale in den beiden Teilräumen und mögliche Ansätze für die Potentiale.

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4.1 Antwort zu H2

Geeignete Ansätze für das Potential in den beiden Teilräumen haben die Form ( )

da infolge der Zylindersymmetrie keine Abhängigkeit von dem Winkel auftritt. Die Potentiale sind durch die Bedingungen

• stetige Tangentialkomponente des -Feldes
  
  
  
  

• und stetige Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung
  
  
  
  

aneinanderzuschließen. Der einfache Ansatz für die Potentiale

(Ladung an der Stelle )

(Spiegelladung an der Stelle ) ist nicht ausreichend, da das Potential auch in dem Bereich durch die Polarisationsladungen modifiziert wird, diese Tatsache aber nicht in den Ansatz eingeht.

   Versuche einen brauchbaren Ansatz für die Potentiale   zu finden.

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4.1 Antwort zu H3

Bei Spiegelung an der Ebene geht in über. Ladungen sind also nur an den Stellen anzubringen. In dem Gebiet kann das Potential somit nur die Form

haben. Der Ansatz beinhaltet das ursprüngliche Punktladungspotential plus ein Spiegelladungspotential aufgrund einer zu bestimmenden Spiegelladung an der Stelle Das Potential in dem Gebiet , das eine durch die Polarisationsladungen in der Trennschicht modifizierte Fortsetzung des Potentials in dem Gebiet darstellen soll, kann man versuchen durch eine zusätzliche Ladung zu beschreiben. Diese Ladung kann nur (alternativ) an den Stellen angebracht werden.

Es ist nicht möglich eine vierte Ladung ins Spiel zu bringen (warum?).

   Bestimme die unbekannten Ladungen   mit Hilfe der zwei Anschlussbedingungen.

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4.1 Antwort zu H4

Die zwei Anschlussbedingungen ergeben

Da nur zwei Bedingungen zur Verfügung stehen, können nur zwei Ladungen (, ) bestimmt werden. Ein Ansatz mit einer weiteren Ladung ist nicht möglich. Aus den resultierenden linearen Gleichungen

gewinnt man für die unbekannten Ladungen die zwei Lösungen

• Die Ladung ist an der Stelle (positives Vorzeichen):
  
  
  
  

• Die Ladung ist an der Stelle (notiere Ergebnis ohne weitere Rechnung):
  
  
  
  

   Welche Aussagen gewinnt man für die Spezialfälle   , und ? Diskutiere.

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4.1 Antwort zu H5

Der erste Spezialfall erlaubt die Bestimmung des korrekten Ansatzes. Die restlichen geben dann vernünftige Aussagen.

(a)

Falls ist, ist eine Punktladung in ein einziges Dielektrikum eingebettet. Die Lösung

ergibt in diesem Grenzfall unendlich große Zusatzladungen, muss also verworfen werden. Für den anderen Ansatz findet man die erwartete Antwort

Im gesamten Raum ist das Potential

(b)

Mit

beschreibt den Übergang vom Vakuum in ein Dielektrikum, oder anders ausgedrückt und stellen das Potential einer Punktladung vor einer dielektrischen Halbebene dar.

(c)

Der Grenzfall beschreibt eine Grenzfläche aus Metall. Man erhält dann das `Standardergebnis`

der Spiegelladungsmethode.

   Gib die Verteilung der Polarisationsladungen   auf der Trennschicht an.

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4.1 Antwort zu H6

Die auf der Trennschicht vorhandenen Polarisationsladungen werden (pauschal) durch

beschrieben. Man erhält

Die Polarisationsladungsdichte ist ( vorausgesetzt) positiv, falls bzw. negativ falls ist. Die Verteilung der Polarisationsladungen ist in Abb. 0.2 und 0.3 illustriert.

Abbildung 0.2: Die Polarisationsladung in Abhängigkeit von mit den Parametern , (obere Kurven) bzw. (untere Kurven) für die beiden Abstände (blau) und (grün)

Eine alternative Darstellung der Dichteverteilung für die Polarisationsladung wird in Abb. 0.3 gezeigt.

Abbildung 0.3: Alternative Darstellung der Dichteverteilung der Polarisationsladung mit den Parametern , , und (oberer Streifen) sowie (unterer Streifen)

   Berechne die auf der gesamten Trennschicht vorhandene Polarisationsladung.  

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4.1 Antwort zu H7

Die gesamte auf der Trennschicht vorhandene Ladung berechnet sich (in Zylinderkoordinaten) gemäß

zu

   Berechne das elektrische Feld   in beiden Teilräumen.

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4.1 Antwort zu H8

Für das elektrische Feld findet man

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