Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.12

1. Fasse die Strategie   zur Bearbeitung der Aufgabe zusammen.
2. Trenne Realteil und Imaginärteil von und bestimme die Gleichung der Äquipotentiallinien.  
3. Diskutiere die implizite und die explizite Vorgabe   für die Äquipotentiallinien. Benutze spezielle Werte von zur Orientierung.
4. Bestimme die Gleichung der Feldlinien   des Systems durch Elimination von aus den Ausgangsgleichungen. Diskutiere die Gleichung für die Feldlinien.
5. Skaliere die oben diskutierten Größen, um einen Zusammenhang mit den Standardparametern   (Spannung zwischen und Abstand der Platten) eines realen Plattenkondensators herzustellen.

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4.12 Antwort zu H1

Der Realteil und der Imaginärteil der konformen Abbildung stellen zwei Gleichungen der Form

dar. Man löst diese durch Elimination von oder von in der Form

auf. Diese Gleichung beschreiben für vorgegebene Werte von oder von die Äquipotentiallinien und die Feldlinien des Kondensators. Zur Orientierung kann man diese Kurven für ausgewählte Parameterwerte betrachten. Die Beantwortung der letzten Frage der Aufgabenstellung erfordert die Angabe von Skalierungsgesetzen.

   Trenne Realteil und Imaginärteil von und bestimme die Gleichung der Äquipotentiallinien.  

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4.12 Antwort zu H2

Für den Real- und den Imaginärteil von findet man direkt

Um die Gleichung der Äquipotentiallinien des Systems zu bestimmen, eliminiert man aus dieser Parameterdarstellung. Aus der zweiten Gleichung erhält man

Da die Exponentialfunktion positiv definit ist, sind nur Werte von und möglich, für die die rechte Seite dieser Gleichung positiv ist. Mit dieser Einschränkung kann man die Umkehrung

benutzen und in die erste Gleichung einsetzen. Man erhält die Relation

die für vorgegebene (vorgebbare) Werte von eine Gleichung der Form für die Äquipotentiallinien darstellt.

   Diskutiere die implizite und die explizite Vorgabe   für die Äquipotentiallinien. Benutze spezielle Werte von zur Orientierung.

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4.12 Antwort zu H3

Um eine Vorstellung von der Funktion

zu gewinnen, kann man einige spezielle Werte von betrachten.

• Ist , so heben sich die logarithmischen Singularitäten nur gegenseitig auf, falls auch ist
  
  
  
  
  Da der Kotangens für unendlich wird und gegen Null geht, ist der Ausdruck und damit der Realteil von unbestimmt. Eine explizite Aussage über die -Werte erhält man, wenn man die ursprünglichen Gleichungen
  
  
  
  
  
  
  
  direkt betrachtet. Aus der zweiten Gleichung folgt wiederum
  
  
  
  
  Die erste Gleichung besagt dann
  
  
  
  
  an. Variiert man nun (siehe Abb. 0.1), so gilt die Aussage: Für
  
  
  
  
  Die reelle Achse der -Ebene ist eine Äquipotentiallinie mit .
  
  

  Abbildung 0.1: Die Funktion

  
  
  
  
• Ist , so folgt wegen
  
  
  
  
  die Relation
  
  
  
  
  
  
  
  Auflösung nach ergibt
  
  
  
  
  
  
  
  Diese zwei Kurven sind in Abb. 0.2 dargestellt. Für negative -Werte dominiert der konstante Beitrag, für positive -Werte übernimmt die Exponentialfunktion das Geschehen.
  
  

  Abbildung 0.2: Zwei Äquipotentiallinien ()

  
  
  
  Diese Kurven stellen Äquipotentiallinien dar, die innerhalb des Kondensators parallel zu den Platten verlaufen und am Rand des Kondensators einen Streueffekt aufweisen.
• Für liegt bezüglich der Diskussion der Gleichung eine ähnliche Situation wie für vor. Aus diesem Grund ist es auch hier zweckmäßig, die ursprüngliche Parameterdarstellung ( ) zu betrachten. Die zweite Gleichung erfordert . Die erste Gleichung ergibt dann
  
  
  
  
  Infolge des negativen Vorzeichens vor der Exponentialfunktion (siehe Abb. 0.3) sind nur negative (einschließlich Null) Werte von möglich. Diese Aussage kann auch analytisch überprüft werden.
  
  

  Abbildung 0.3: Die Funktion (!)

  
  
  
  Die Linien sind somit Äquipotentiallinien des komplexen Potentials mit dem Wert (Abb. 0.4).
  
  

  Abbildung 0.4: Die Äquipotentiallinien die Kondensatorplatten

  
  
  
  Man kann sie mit den Platten eines Plattenkondensators (mit unendlicher Ausdehnung in die negative -Richtung) identifizieren.
• Weitere Äquipotentiallinien mit -Werten zwischen und müssen numerisch gewonnen werden. Einige dieser Linien werden in Abb. 0.5 (in rot) gezeigt.
  
  

  Abbildung 0.5: Neun Äquipotentiallinien

  
  
  
  
• Für -Werte außerhalb der Bereiches wiederholt sich infolge der Periodizität der trigonometrischen Funktionen das Bild.

   Bestimme die Gleichung der Feldlinien   des Systems durch Elimination von aus den Ausgangsgleichungen. Diskutiere die Gleichung für die Feldlinien.

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4.12 Antwort zu H4

Um die Gleichung der Feldlinien zu gewinnen, eliminiert man aus den Gleichungen

Die erste Gleichung liefert

bzw.

Setzt man diese Relation in die zweite Gleichung ein, so erhält man

Trotz der anscheinenden Komplexität dieser Gleichungen ist auch in diesem Fall eine Teildiskussion möglich. Man betrachtet z.B. drei verschiedene Werte für das Argument der Arkuskosinusfunktion.

• Ist , so folgt wegen für die Koordinaten
  
  
  
  

• Für findet man wegen entsprechend
  
  
  
  

• Ist , so folgt wegen
  
  
  
  

Den Ergebnissen für 5 verschiedene Werte von entnimmt man die Aussage: Ist der Parameter positiv und groß genug, so kann man in allen 5 Fällen die Größe vernachlässigen. Es gilt dann in allen 5 Fällen

In anderen Worten: Die Feldlinien im Inneren des Plattenkondensators sind Geraden, die die zwei Platten verbinden (und die Äquipotentiallinien unter einem rechten Winkel schneiden). Am Rand der Platte beginnen die Kurven sich nach außen zu wölben (Abb. 0.6).

Abbildung 0.6: Feldlinien (blau) und Äquipotentiallinien (grün)

   Skaliere die oben diskutierten Größen, um einen Zusammenhang mit den Standardparametern   (Spannung zwischen und Abstand der Platten) eines realen Plattenkondensators herzustellen.

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4.12 Antwort zu H5

Um die Parameter des Modells mit den Standardparametern des Plattenkondensators zu verknüpfen, definiert man z.B.

Das Potential auf den Platten () ist dann

und der Abstand der Platten ist

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