Lösung der Aufgabe 4.12


Für den Real- und den Imaginärteil von findet man direkt

Um die Gleichung der Äquipotentiallinien des Systems zu bestimmen, eliminiert man aus dieser Parameterdarstellung. Aus der zweiten Gleichung erhält man

Da die Exponentialfunktion positiv definit ist, sind nur Werte von und möglich, für die die rechte Seite dieser Gleichung positiv ist. Mit dieser Einschränkung kann man die Umkehrung

benutzen und in die erste Gleichung einsetzen. Man erhält die Relation

die für vorgegebene (vorgebbare) Werte von eine Gleichung der Form für die Äquipotentiallinien darstellt. Um eine Vorstellung von dieser Funktion zu gewinnen, kann man einige spezielle Werte von betrachten.

• Ist , so folgt
  
  
  
  
  Die erste Gleichung besagt dann
  
  
  
  
  Variiert man nun (siehe Abb. 0.1), so findet man zu jedem Wert von einen eindeutigen Wert von in den Grenzen . Die reelle Achse der -Ebene ist eine Äquipotentiallinie mit .
  
  

  Abbildung 0.1: Die Funktion

  
  
  
  
• Ist , so findet man
  
  
  
  
  
  
  
  Diese zwei Kurven sind in Abb. 0.2 dargestellt. Für negative -Werte dominiert der konstante Beitrag, für positive -Werte übernimmt die Exponentialfunktion das Geschehen.
  
  

  Abbildung 0.2: Zwei Äquipotentiallinien ()

  
  
  
  Diese Kurven stellen Äquipotentiallinien dar, die innerhalb des Kondensators parallel zu den Platten verlaufen und am Rand des Kondensators einen Streueffekt aufweisen.
• Für ist Die erste Gleichung ergibt dann
  
  
  
  
  Infolge des negativen Vorzeichens vor der Exponentialfunktion (siehe Abb. 0.3) sind nur negative (einschließlich Null) Werte von möglich. Diese Aussage kann auch analytisch überprüft werden.
  
  

  Abbildung 0.3: Die Funktion (!)

  
  
  
  Die Linien sind somit Äquipotentiallinien des komplexen Potentials mit dem Wert (Abb. 0.4).
  
  

  Abbildung 0.4: Die Äquipotentiallinien die Kondensatorplatten

  
  
  
  Man kann sie mit den Platten eines Plattenkondensators (mit unendlicher Ausdehnung in die negative -Richtung) identifizieren.
• Weitere Äquipotentiallinien mit -Werten zwischen und müssen numerisch gewonnen werden. Einige dieser Linien werden in (Abb. 0.5) (in rot) gezeigt.
  
  

  Abbildung 0.5: Neun Äquipotentiallinien

  
  
  
  
• Für -Werte außerhalb der Bereiches wiederholt sich infolge der Periodizität der trigonometrischen Funktionen das Bild.

Um die Gleichung der Feldlinien zu gewinnen, eliminiert man aus den Gleichungen

Die erste Gleichung liefert

bzw.

Setzt man diese Relation in die zweite Gleichung ein, so erhält man

Trotz der anscheinenden Komplexität dieser Gleichungen ist auch in diesem Fall eine Teildiskussion möglich. Man betrachtet z.B. drei verschiedene Werte für das Argument der Arkuskosinusfunktion.

• Ist , so folgt wegen für die Koordinaten
  
  
  
  

• Für findet man wegen entsprechend
  
  
  
  

• Ist , so folgt wegen
  
  
  
  

Den Ergebnissen für 5 verschiedene Werte von entnimmt man die Aussage: Ist der Parameter positiv und groß genug, so kann man in allen 5 Fällen die Größe vernachlässigen. Es gilt dann in allen 5 Fällen

In anderen Worten: Die Feldlinien im Inneren des Plattenkondensators sind Geraden, die die zwei Platten verbinden (und die Äquipotentiallinien unter einem rechten Winkel schneiden). Am Rand der Platte beginnen die Kurven sich nach außen zu wölben (Abb. 0.6).

Abbildung 0.6: Feldlinien (blau) und Äquipotentiallinien (grün)

width="450"

Um die Parameter des Modells mit den Standardparametern des Plattenkondensators zu verknüpfen, definiert man z.B.

Das Potential auf den Platten () ist dann

und der Abstand der Platten ist

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