Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.13

1. Diskutiere die als Vorübung   angegebene komplexe Gleichung.
2. Wähle aus der Kreisschar   zwei Kreise aus, die der Vorgabe entsprechen.
3. Vereinfache die Geometrie   des Problems durch die vorgeschlagene Transformation.
4. Nutze die einfache Geometrie zur Bestimmung der Kapazität   der ursprünglichen Anordung.

Werkzeuge

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4.13 Antwort zu H1

Die Gleichung

beschreibt für (zulässige) reelle Werte der Parameter einen Kreis in der komplexen Ebene mit dem Radius

und den Mittelpunktskoordinaten

Zum Beweis löst man in ( 1 ) zuerst die Betragsangaben auf

und sortiert

bzw.

Mit einer quadratischen Ergänzung

findet man

Hier liest man die Behauptung ab. Von Interesse sind auch die Schnittpunkte des Kreises mit der -Achse

Die Ausgangsgleichung bedingt, dass größer als Null sein muss. Die Bedingung führt auf die Beschränkung Je nachdem, ob oder ist, liegen die Mittelpunkte der Kreise auf der negativen oder positiven reellen Achse (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Die Kreisschar

Betrachtet man Kreise mit festem als Funktion von , so findet man, beginnend mit einem `Kreis` mit Radius Null an der Stelle mit wachsenden Werten des Parameters Kreise mit wachsendem Radius, deren Mittelpunkte gegen wandern. Für ergibt sich der Grenzwert

Dieser Grenzkreis ist die imaginäre ()-Achse. Die Parameter sind durch die Vorgabe eines Kreises bestimmt. Löst man die Gleichungen für in der Form

auf, so erhält man eine quadratische Gleichung für

mit der Lösung

Da

ist, sind die beiden Lösungen durch

verknüpft. Die Größe ist durch

bestimmt.

   Wähle aus der Kreisschar   zwei Kreise aus, die der Vorgabe entsprechen.

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4.13 Antwort zu H2

Aus der Vorgabe von und kann man drei Scharparameter bestimmen, so z.B. aus den Relationen

und

   Vereinfache die Geometrie   des Problems durch die vorgeschlagene Transformation.

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4.13 Antwort zu H3

Um die Geometrie zu vereinfachen, transformiert man von der komplexen Ebene in die komplexe Ebene mit

Die Umkehrung dieser Transformation lautet

Die Relationen

für zwei Kreise in der Ebene, z.B. mit transformieren sich somit in

oder

in der -Ebene. Diese Gleichungen beschreiben zwei (bezüglich des Nullpunktes) konzentrische Kreise (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Transformation

   Nutze die einfache Geometrie zur Bestimmung der Kapazität   der ursprünglichen Anordung.

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4.13 Antwort zu H4

In der -Ebene kann man das bekannte Ergebnis für die Kapazität pro Längeneinkeit eines Zylinderkondensators (mit konzentrischen Zylindern) benutzen

Um die Kapazität in der -Ebene darzustellen, bzw. durch die Vorgaben auszudrücken, ist noch eine Umrechnung notwendig. Man schreibt zunächst mit

und benutzt den Zusammenhang zwischen dem natürlichen Logarithmus () und dem Inversen des hyperbolischen Kosinus () ()

Man setzt noch das Additionstheorem für die -Funktion (siehe Werkzeuge) ein

benutzt

für die Quadratwurzeln und erhält

Um die verbleibende Konstante zu eliminieren bzw. den Abstand der Mittelpunkte einzubringen, berechnet man

Auflösung ergibt

Die gesuchte Kapazität lautet somit

Für und geht dieses Resultat in die Formel für den einfachen Zylinderkondensator über

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