Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.2

1. Welche Gleichung ist infolge der vorgegebenen Geometrie   zu lösen?
2. Mache einen Separationsansatz   und gib die allgemeinen Lösungen der separierten Differentialgleichungen an.
3. Konstruiere die allgemeine Lösung   der zuständigen partiellen Differentialgleichung.
4. Bestimme die spezielle Lösung   der partiellen Differentialgleichung anhand der Randbedingungen.
5. Gib das elektrische Feld   im Innen- und im Außenraum des Zylinders an.
6. Zerlege das elektrische Feld in kartesische Komponenten   (unter Beibehaltung der Polarkoordinaten zur Darstellung dieser Komponenten) und interpretiere das Ergebnis.
7. Berechne die Verteilung der Polarisationsladungen in einem Zylinderquerschitt.  

8. Betrachte die Spezialfälle   und . Kommentiere.

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4.2 Antwort zu H1

Es liegt ein Problem mit Azimutalsymmetrie vor. Man wählt die Zylinderachse als -Achse. Infolge der unendlichen Ausdehnung des Zylinders kann man sich auf eine dazu senkrechte Ebene (die - Ebene) beschränken. Der Zylinderquerschnitt legt die Benutzung von ebenen Polarkoordinaten (, ) nahe, wobei die Feldrichtung als -Achse dient (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Koordinatenwahl

Es steht somit die Lösung der zweidimensionalen Laplacegleichung

an.

   Mache einen Separationsansatz   und gib die allgemeinen Lösungen der separierten Differentialgleichungen an.

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4.2 Antwort zu H2

Separation der Laplacegleichung in ebenen Polarkoordinaten mit

führt auf die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die allgemeinen Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen sind (siehe falls notwendig Math.Kap. 3.1.4)

da die Periodizitätsbedingungen die Separationskonstante auf ganze Zahlen beschränkt.

(Hier wird auf die Werte beschränkt.) Für ist die Lösung

   Konstruiere die allgemeine Lösung   der zuständigen partiellen Differentialgleichung.

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4.2 Antwort zu H3

Wählt man als Richtung des äußeren Feldes die -Richtung, so hat die Lösung die Symmetrie

Da der Ursprung in die Betrachtung einbezogen ist, kommt die logarithmische Lösung für nicht in Betracht. Es ergibt sich somit als Ansatz für die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung, die der Geometrie entspricht

   Bestimme die spezielle Lösung   der partiellen Differentialgleichung anhand der Randbedingungen.

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4.2 Antwort zu H4

Die Randbedingung für ist

Diese Bedingung ist erfüllt, wenn

ist. In dem Außenbereich bleibt also der Ansatz

Für bleibt das Potential nur endlich, falls für alle ist. Damit hat man im Innenbereich des Zylinders

Die verbleibenden Entwicklungskoeffizienten werden durch die Forderungen bestimmt

• Das Potential ist auf der Grenzfläche stetig
  
  
  

• Die Tangentialkomponente des -Feldes ist auf der Grenzfläche stetig
  
  
  

• Die Normalkomponente des -Feldes ist auf der Grenzfläche stetig
  
  
  

Da die Funktionen und ein orthogonales Funktionensystem mit

bilden, können alle Multipolbeiträge individuell verglichen werden. Die drei Bedingungen ergeben dann die Aussagen

(1)

Stetiges Potential (1):

(2)

Die Forderung `stetige Tangentialkomponenten` des -Feldes (2) ergibt die gleichen Aussagen, da lediglich durch ersetzt wird.

(3)

Stetige Normalkomponenten des -Feldes (3):

Zusammen mit der Aussage aus (1) liefert dies

Vergleich mit der Aussage (1) zeigt, dass

ist.

Das Potential des vorgelegten Problems ist somit

   Gib das elektrische Feld   im Innen- und im Außenraum des Zylinders an.

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4.2 Antwort zu H5

Das entsprechende elektrische Feld

hat die Komponenten

Innenfeld:

Außenfeld:

   Zerlege das elektrische Feld in kartesische Komponenten   (unter Beibehaltung der Polarkoordinaten zur Darstellung dieser Komponenten) und interpretiere das Ergebnis.

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4.2 Antwort zu H6

Eine andere Sicht gewinnt man durch die Betrachtung der Zerlegung des Feldes in die kartesischen Koordinatenrichtungen (unter Beibehaltung der Polarkoordinaten zur Darstellung dieser Komponenten). Es ist

Damit folgt

Im Innern des Zylinders herrscht ein homogenes Feld in -Richtung, dessen Stärke um den Faktor erniedrigt ist. In dem Außenbereich

wird zu dem homogenen Feld in der -Richtung ein Feld, das durch Polarisationsladungen erzeugt wird, addiert. Dieses Feld fällt mit dem Abstand wie ab, hat somit Dipolcharakter.

   Berechne die Verteilung der Polarisationsladungen in einem Zylinderquerschitt.  

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4.2 Antwort zu H7

Die Verteilung der Polarisationsladungen berechnet man mit (Kap. 2.2)

zu

Die Dichte der Flächenladungen ist maximal in der -Richtung (positiv für , negativ für ) und nimmt mit dem Kosinusgesetz auf den Wert Null an den Stellen ab. (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Ladungsverteilung auf der Zylinderoberfläche als Funktion des Winkels (quantitativ)

In der Animation wird das Vorzeichen (und die Stärke) der effektiven Ladung als Funktion des Winkels (Pfeil) angezeigt.

Die Gesamtladung in jeder Ebene parallel zu der - Ebene ist Null. Es hat nur Ladungstrennung stattgefunden (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Ladungsverteilung auf der Zylinderoberfläche als Funktion des Winkels (qualitativ)

   Betrachte die Spezialfälle   und . Kommentiere.

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4.2 Antwort zu H8

Von Interesse sind noch die Spezialfälle

• zur Überprüfung der Ergebnisse. Hier folgt
  
  
  
  
  (ohne Material keine Polarisation)
  und
• der Fall eines Metallzylinders mit
  
  
  
  
  
  
  
  sowie
  
  
  
  
  Da für endliche Werte von ist, ist die Polarisation maximal im Fall eines Metalles.

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