Lösung der Aufgabe 4.2


Zu lösen ist die zweidimensionale Laplacegleichung in ebenen Polarkoordinaten (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Koordinatenwahl

Separation dieser partiellen Differentialgleichung mit

führt auf die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die physikalisch relevanten Lösungen sind

und

Für ist die Lösung der Radialgleichung

Legt man die Richtung des äußeren Feldes als die -Richtung fest, so gilt

Ein Ansatz für die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung, der die Geometrie und die physikalischen Bedingungen wiedergibt, ist

Die Randbedingung für und für reduzieren die Lösung im Außenbereich auf

im Innenbereich des Zylinders erhält man

Zieht man die Anschlussbedingungen auf dem Rand des Zylinderquerschnitts

(1)

stetiges Potential

(2)

stetige Tangentialkomponenten des -Feldes

(3)

stetige Normalkomponenten des -Feldes

hinzu, so findet man für die restlichen Koeffizienten

und

Das Potential des Zylinderproblems ist somit

Das entsprechende elektrische Feld hat die Komponenten: Innenfeld:

Außenfeld:

bzw. in kartesischer Zerlegung

und

Die Verteilung der Polarisationsladungen berechnet man zu (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Ladungsverteilung auf der Zylinderoberfläche als Funktion des Winkels (quantitativ)

Die Gesamtladung in jeder Ebene parallel zu der - Ebene ist Null. Es hat nur Ladungstrennung stattgefunden (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Ladungsverteilung auf der Zylinderoberfläche als Funktion des Winkels (qualitativ)

Von Interesse sind noch die Spezialfälle mit

und (der Fall eines Metallzylinders) mit

sowie

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