Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.3

1. Schlage eine Strategie zur Lösung   der gestellten Aufgabe vor.
2. Lege Dich auf ein Koordinatensystem   fest.
3. Wie berechnet man das Potential   dieses Drahtes ohne die Metallebene?
4. Berechne das elektrische Feld   des Drahtes ohne die Metallebene auf zwei verschiedene Weisen.
5. Bestimme das Potential   eines Drahtes, der parallel zu der -Achse verläuft und die -Achse im Abstand schneidet, für Punkte in der - Ebene.
6. Bestimme das Gesamtpotential   des Systems geerdete Ebene plus Draht.
7. Berechne die Flächenladungsdichte   auf der Ebene.
8. Diskutiere die Verteilung   der unendlich großen Ladung.

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4.3 Antwort zu H1

Die folgenden Schritte führen zum Ziel:

• Wähle ein geeignetes Koordinatensystem zur Darstellung der Situation.
• Bestimme das Potential eines Drahtes, der parallel zu einer Koordinatenebene verläuft und die dazu senkrechte Koordinatenachse in dem Abstand von dieser Ebene schneidet. Hier sind verschiedene Optionen möglich.
• Benutze die Spiegeladungsmethode, um das Potential von Metallebene und Draht auf der Drahtseite zu bestimmen.
• Berechne und diskutiere die Ladungsverteilung.

   Lege Dich auf ein Koordinatensystem   fest.

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4.3 Antwort zu H2

Man identifiziert z.B. die geerdete Ebene mit der - Ebene. Der Draht verläuft parallel zu der -Achse und schneidet die -Achse im Abstand (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Koordinatenwahl

   Wie berechnet man das Potential   dieses Drahtes ohne die Metallebene?

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4.3 Antwort zu H3

Bestimme das elektrische Feld mit dem Theorem von Gauß oder durch Superposition (Integration) von infinitesimalen Beiträgen des Drahtes und berechne anschließend das Potential durch Kurvenintegration. Alternativ kann man das Potential direkt durch Superposition (Integration) gewinnen.

   Berechne das elektrische Feld   des Drahtes ohne die Metallebene auf zwei verschiedene Weisen.

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4.3 Antwort zu H4

Man betrachtet einen Zylinder der Länge , dessen Mittellinie der Draht darstellt. Identifiziert man den Radius des Zylinders mit dem Abstand eines Feldpunktes von dem Draht (Abb. 0.2),

Abbildung 0.2: Illustration der Berechnung des Drahtfeldes (Methode I)

so gilt infolge der Symmetrie

Integriert wird nur über den Zylindermantel, da das Feld parallel zu den Stirnflächen verläuft. Die eingeschlossene Ladung ist Da das Feld auf dem Zylindermantel konstant ist, folgt

Die Richtung des Feldes ist ( vorausgesetzt) radial nach außen. Zur Berechnung des Feldes durch Superposition orientiert man den Draht z.B. entlang der -Achse und betrachtet einen Punkt in der - Ebene mit dem Abstand von dem Draht. Zwei zu der Ebene diametrale Ladungselemente im Abstand von der - Ebene ergeben in dem Punkt den Feldbeitrag (Abb. 0.3)

Abbildung 0.3: Illustration der Berechnung des Drahtfeldes (Methode II)

in Radialrichtung. Das Feld des gesamten Drahtes in dem Punkt ist

   Bestimme das Potential   eines Drahtes, der parallel zu der -Achse verläuft und die -Achse im Abstand schneidet, für Punkte in der - Ebene.

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4.3 Antwort zu H5

Man geht am geschicktesten in zwei Schritten vor:

• Im ersten Schritt denkt man sich den Draht enlang der -Achse orientiert und berechnet das Potential durch Integration von einem unendlich fernen Punkt bis zu einem Punkt mit den Koordinaten
  
  
  
  
  
  
  

• Man verschiebt dann die -Achse (und den Draht) entlang der negativen -Achse um die Strecke . Der Feldpunkt hat dann den Abstand von dem Draht und das Potential ist
  
  
  
  

   Bestimme das Gesamtpotential   des Systems geerdete Ebene plus Draht.

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4.3 Antwort zu H6

Hier wird die Spiegelladungsmethode eingesetzt. Bringe zusätzlich zu dem Draht vor der Ebene (charakterisiert durch ) einen Draht hinter der Ebene im Abstand (Spiegelung !) mit der linearen Ladungsdichte an. Die Einzelpotentiale sind (Abb. 0.4)

Abbildung 0.4: Spiegelung an der Ebene

Die Erdung der Ebene bedingt

im Detail

Offensichtlich muss sein, so dass das Gesamtpotential

ist.

   Berechne die Flächenladungsdichte   auf der Ebene.

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4.3 Antwort zu H7

Die Ladungsdichte wird durch die Normalkomponente des Feldes auf der Ebene bestimmt. Diese Komponente ist

Man erhält somit für die Flächenladungsdichte

Die Variation der Größe als Funktion von ist in (Abb. 0.5)

Abbildung 0.5: Ladungsverteilung (Betrag) in der -Richtung

gezeigt. Die Gesamtladung der Ebene ist jedoch (wie die Gesamtladung des Drahtes) unendlich groß

   Diskutiere die Verteilung   der unendlich großen Ladung.

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4.3 Antwort zu H8

Man gewinnt eine Vorstellung von der Ladungsverteilung, wenn man einen Streifen - Ebene betrachtet. Dieser Streifen verläuft parallel zu der -Achse (einer Richtung senkrecht zu der Richtung des Drahtes) und hat eine Breite . Die zwischen den Grenzen und (Abb. 0.6)

Abbildung 0.6: Das Ladungsband

eingeschlossene Ladung ist (Abb. 0.7)

Abbildung 0.7: Akkumulierte Ladung (Betrag, blaue Kurve: , grüne Kurve: )

Abbildung 0.8: Variation der Ladungsverteilung (Betrag) mit dem Abstand

Die Gesamtladung in dem Streifen der Breite ist

(wegen ). Die Hälfte der Gesamtladung auf dem Streifen findet man in einem Bereich zwischen und wobei die Länge des Bereiches durch

also durch

gegeben ist. (Abb. 0.9)

Abbildung 0.9: Die Grenzen für die Hälfte der Ladung Einheit unten, Einheiten oben

Diese Länge entspricht den Schnittpunkten eines `Kreises` um den Draht mit dem Radius (Abb. 0.10).

Abbildung 0.10: Der Grenzradius

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