Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.4

1. Formuliere einen Ansatz   für die gesuchte Greensfunktion und kommentiere das weitere Vorgehen.
2. Welche Aussagen ergeben die Randbedingungen   für die Greensfunktion?
3. Nutze nun die Symmetrie der Greensfunktion   aus.
4. Im nächsten Schritt spielt die Singularität   der Differentialgleichung eine Rolle. Dadurch wird die letzte Größe festgelegt.
5. Diskutiere den Grenzfall  
6. Berechne die Normalenableitungen   der Greensfunktion auf den zwei Randflächen.
7. Überprüfe den Oberflächenbeitrag   in der Lösungsformel (4.24), Kap. 4.3. für die Vorgabe von konstanten Randwerten und .

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4.4 Antwort zu H1

Gemäß den Ausführungen im D.tail 4.3 kann für kugelsymmetrische Probleme die Greensfunktion in der Form

angesetzt werden, wobei der Radialanteil die Differentialgleichung

erfüllt. Das vorliegende Problem unterscheidet sich von dem Problem in D.tail 4.3 in der Vorgabe der Randbedingungen: Das Potential des Dirichletproblems soll auf zwei Kugelflächen mit den Radien jeweils einen vorgegebenen Wert annehmen. Dies bedeutet dass die Greensfunktion auf diesen Kugelflächen verschwindet. Ansonsten kann man die gleiche Technik zur Bestimmung der Radialfunktion wie in Kap. 4.3 benutzen. Die Tatsache, dass die Radialanteile der Poissongleichung für das Potential und die Differentialgleichung für die gleiche Form haben, führt auf den Ansatz

   Welche Aussagen ergeben die Randbedingungen   für die Greensfunktion?

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4.4 Antwort zu H2

Die Randbedingungen

führen auf die Relationen

für die Koeffizientenfunktionen. Auflösung liefert das Zwischenergebnis

   Nutze nun die Symmetrie der Greensfunktion   aus.

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4.4 Antwort zu H3

Die Symmetriebedingung

liefert die Relation

die durch

erfüllt wird. Damit sind die zwei Radialfunktionen bis auf eine Konstante bestimmt

   Im nächsten Schritt spielt die Singularität   der Differentialgleichung eine Rolle. Dadurch wird die letzte Größe festgelegt.

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4.4 Antwort zu H4

Die Singularität bedingt eine Sprungbedingung für die erste Ableitung der Greensfunktion. Für deren Auswertung

benötigt man die Ableitungen der Funktionen und

Setzt man diese in die Sprungbedingung ein, so erhält man nach dem Grenzübergang und Sortieren

bzw.

Damit lautet das Endresultat für die radialen Greensfunktionen

Die beiden Greensfunktionen unterscheiden sich durch Vertauschung von und in den -abhängigen Faktoren.

   Diskutiere den Grenzfall  

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4.4 Antwort zu H5

In dem Grenzfall erhält man die im D.tail 4.3 gewonnene Greensfunktion, so z.B.

und entsprechend

   Berechne die Normalenableitungen   der Greensfunktion auf den zwei Randflächen.

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4.4 Antwort zu H6

Die Normalenableitungen stehen senkrecht auf den Flächen, die das vorgegebene Volumen begrenzen und zeigen nach außen (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Normalenableitungen

Somit ist

auf der Innenfläche und

auf der Außenfläche. Explizit erhält man für die Ableitung der zuständigen radialen Greensfunktionen auf der Innenfläche:

wobei zur Abkürzung

benutzt wurde. Auf der Außenfläche ist

einzusetzen.

   Überprüfe den Oberflächenbeitrag   in der Lösungsformel (4.24), Kap. 4.3. für die Vorgabe von konstanten Randwerten und .

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4.4 Antwort zu H7

Benutzt man die berechneten Normalenableitungen, so erhält man für die Oberflächenbeiträge in der Lösungsformel (4.24) des Dirichletproblems

Das Integral über die Kugelflächenfunktionen liefert

so dass sich wegen der Oberflächenbeitrag zu dem Potential zu

ergibt. Setzt man die Radien der Grenzflächen ein, so findet man, wie erwartet,

Die Oberflächenbeiträge ergeben in der Tat die Randbedingungen, wodurch das Ergebnis partiell überprüft wurde.

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