Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.5

1. Separiere die zweidimensionale Laplacegleichung   in Polarkoordinaten.
2. Bestimme die Lösung der Winkelgleichung,   die den Randbedingungen entspricht, und die allgemeine Lösung der Radialgleichung.
3. Wie lautet der Ansatz   für die zweidimensionale Greensfunktion?
4. Finde eine Bestimmungsgleichung für den Radialanteil   der Greensfunktion.
5. Finde einen Ansatz für den Radialanteil   der Greensfunktion.
6. Implementiere die Randbedingungen und die Symmetriebedingung   für die radiale Greensfunktion.
7. Setze die Singularität   der Differentialgleichung für den Radialanteil der Greensfunktion um.
8. Notiere das Endergebnis   für die Greensfunktion des Kuchenstücks.

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4.5 Antwort zu H1

Die gesuchte Greensfunktion kann aus den Lösungen der zweidimensionalen Laplacegleichung in ebenen Polarkoordinaten

konstruiert werden. Zu deren Bestimmung benutzt man den Separationsansatz

und erhält zunächst

bzw. die zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen

   Bestimme die Lösung der Winkelgleichung,   die den Randbedingungen entspricht, und die allgemeine Lösung der Radialgleichung.

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4.5 Antwort zu H2

Die allgemeine Lösung der Winkelgleichung kann in komplexer Form

angegeben werden. Gesucht wird die Lösung, die den Randbedingungen für die Greensfunktion entspricht, also die Relationen

erfüllt. Diese Bedingungen entsprechen den Aussagen

Dieses homogene lineare Gleichungssystem ist nur lösbar, falls die Determinante der Koeffizienten verschwindet, also wenn

ist. Diese Bedingung ist für

erfüllt. Da ist, lautet die spezielle Lösung, die den Randbedingungen entspricht

bzw. in reeller Notation

(Eine mögliche Lösung mit ist nicht von Interesse.) Die Radialgleichung kann nach bewährtem Muster mit dem Ansatz

diskutiert werden (oder mit einem Potenzreihenansatz, der sich auf diesen Ansatz reduziert). Einsetzen ergibt

Die allgemeine Lösung ist

wobei nur -Werte, die größer als Null sind, benutzt werden.

   Wie lautet der Ansatz   für die zweidimensionale Greensfunktion?

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4.5 Antwort zu H3

Um die Greensfunktion, die die Differentialgleichung

erfüllt, zu bestimmen, benutzt man den Ansatz

Der bekannte Winkelanteil wird (analog zu dem dreidimensionalen Fall) abgespalten, die zugehörigen Radialfunktionen sind zu bestimmen. Der Winkelanteil entspricht der Symmetriebedingung

für den Radialanteil ist die Symmetrierelation noch zu implementieren.

   Finde eine Bestimmungsgleichung für den Radialanteil   der Greensfunktion.

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4.5 Antwort zu H4

Nach Ausführung der Differentiation in der Winkelkoordinate erhält man

Zur Auftrennung der Summe multipliziert man diese Gleichung mit

und integriert über die beiden Winkel von bis . Benutzt man dabei

so wird die Summe auf der linken Seite dieser Gleichung aufgebrochen.

Auf der rechten Seite der Differentialgleichung findet man entsprechend

Die Differentialgleichung für den Radialanteil lautet somit

   Finde einen Ansatz für den Radialanteil   der Greensfunktion.

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4.5 Antwort zu H5

Die Differentialgleichung für den Radialanteil der Greensfunktion hat die gleiche Struktur wie die Differentialgleichung für den Radialanteil der Poissongleichung. Aus diesem Grund lautet der Ansatz (vergleiche D.tail 4.3)

Die vier auftretenden Funktionen von werden durch die Standardbedingungen

Randbedingung, Symmetriebedingung und Verhalten der Ableitung für

bestimmt.

   Implementiere die Randbedingungen und die Symmetriebedingung   für die radiale Greensfunktion.

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4.5 Antwort zu H6

Die Randbedingungen sind

Aus der Bedingung an folgt aus der Bedingung an erhält man die Relation

durch die die Koeffizientenfunktionen verknüpft werden

Die Symmetriebedingung

erfordert

Diese Bedingung kann für beliebige Werte von nur erfüllt werden, falls

und

ist. Die zwei Radialfunktionen sind somit nach diesen zwei Schritten

   Setze die Singularität   der Differentialgleichung für den Radialanteil der Greensfunktion um.

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4.5 Antwort zu H7

Zur Bestimmung der Konstanten betrachtet man das Verhalten der ersten Ableitung der radialen Greensfunktion für Stellen mit Zu diesem Zweck integriert man die Differentialgleichung für die radiale Greensfunktion über zwischen den Grenzen und

mit dem Ergebnis

da das Integral über wegen der Stetigkeit der Greensfunktion für verschwindet. Diese Bedingung mit der expliziten Form

liefert in dem Grenzfall

oder

   Notiere das Endergebnis   für die Greensfunktion des Kuchenstücks.

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4.5 Antwort zu H8

Setzt man alle Aussagen zusammen, so kann man die gesuchte Greensfunktion in der Form

zusammenfassen. Dabei ist die größere/kleinere der Variablen und und .

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