Lösung der Aufgabe 4.6


Um die explizite Form des reduzierten Theorems zu gewinnen, betrachtet man z.B. einen quaderförmigen Bereich ( , , ) und kartesische Koordinaten. Die linke Seite des Divergenztheorems

reduziert sich für auf

Die rechte Seite des Divergenztheorems lautet für die Vorgaben im dreidimensionalen Raum

Reduziert man die Vektorfunktion auf die - Ebene und setzt , so verbleibt ein Kurvenintegral über den Rand des Rechteckbereichs. In Zusammenfassung kann man das Ergebnis

notieren. Im Fall von Zylinderkoordinaten beginnt man mit

Das vollständige Divergenztheorem mit einem Bereich , , lautet

wobei die rechte Seite die Beiträge des Zylindermantels sowie der Boden- und Deckelfläche des Zylinders beinhaltet. Ist die Grundfläche nicht kreisförmig, so lautet die rechte Seite explizit

Nach der Reduktion kann das Resultat wiederum in der zweidimensionalen Form geschrieben werden

Das erste Greensche Theorem kann auf der Basis von

wie folgt formuliert werden. Ist

wobei die Funktionen über der - Ebene definiert sind, so folgt

Vertauscht man und und bildet die Differenz, so gewinnt man das zweite Greensche Theorem in zwei Raumdimensionen

Setzt man nun wie im dreidimensionalen Fall

mit den Differentialgleichungen

so erhält man nach Sortierung und Umbenennung der Integrationsvariablen

Ist die Fläche ein `Kuchenstück` mit der Vorgabe

und liegen Dirichletbedingungen vor

so lautet die `Masterformel` explizit

falls das Kuchenstück so orientiert ist, dass der Flächenvektor in die positive -Richtung zeigt. Beachte, dass die Komponente des Gradienten in Richtung des Randes benutzt wird und nicht die Komponente, die senkrecht auf dem Rand steht.

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