Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.7

1. Wie lautet die Differentialgleichung   für die Greensfunktion in einer Raumdimension?
2. Vereinfache die Diskussion im Fall unter Verwendung der Translationsinvarianz   und bestimme die Greensfunktion durch direkte Integration der Differentialgleichung.
3. Überprüfe das Ergebnis für die   Greensfunktion in einer Raumdimension.
4. Wie lautet die Differentialgleichung   für die Greensfunktion in zwei Raumdimnsionen?
5. Die Differentialgleichung für die Greensfunktion im kann durch die Wahl von Koordinaten,   die die Translationssymmetrie und die Rotationssymmetrie des Problems ausnutzen, vereinfacht werden.
6. Berechne die Greensfunktion im   durch Integration der vereinfachten Differentialgleichung.
7. Welche Vereinfachung ergibt sich für die Greensfunktion im   aufgrund der Symmetrien im Fall von einfachen Randbedingungen?
8. Stelle die Differentialgleichung für das vereinfachte Problem im   auf und löse sie.
9. Um die Differentialgleichung für die dreidimensionale Greensfunktion sauber zu lösen, ist eine Fourierdarstellung der Lösung   notwendig. Bereite diese auf.
10. Bestimme die Fourierkoeffizienten anhand der Differentialgleichung   durch Koeffizientenvergleich.

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4.7 Antwort zu H1

Für eindimensionale (Potential-) Probleme lautet die Differentialgleichung der Greensfunktion

   Vereinfache die Diskussion im Fall unter Verwendung der Translationsinvarianz   und bestimme die Greensfunktion durch direkte Integration der Differentialgleichung.

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4.7 Antwort zu H2

Infolge der Translationsinvarianz des Problems kann die Greensfunktion nur von der Differenz der Koordinaten abhängen

Die Differentialgleichung kann in zwei Schritten direkt integriert werden. Die erste Integration ergibt auf der linken Seite der Differentialgleichung

Aufgrund der Randbedingung

gibt es keinen Beitrag von der unteren Grenze. Für die Integration der rechten Seite benutzt man die Definition der -Funktion als Ableitung der Stufenfunktion

Bei der zweiten Integration erhält man

Dieses Resultat kann in der Form

zusammengefasst werden.

   Überprüfe das Ergebnis für die   Greensfunktion in einer Raumdimension.

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4.7 Antwort zu H3

Zur Probe berechnet man

Der zweite Term entfällt infolge der Eigenschaft der -Funktion

so dass man nach einer zweiten Differentiation

erhält.

   Wie lautet die Differentialgleichung   für die Greensfunktion in zwei Raumdimnsionen?

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4.7 Antwort zu H4

Die Differentialgleichung lautet

   Die Differentialgleichung für die Greensfunktion im kann durch die Wahl von Koordinaten,   die die Translationssymmetrie und die Rotationssymmetrie des Problems ausnutzen, vereinfacht werden.

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4.7 Antwort zu H5

Zur Berechnung der Greensfunktion mit einfachen Randbedingungen

kann man die Translationssymmetrie und Rotationssymmetrie ausnutzen. Die Translationsinvarianz bedingt, dass die Greensfunktion nur von der Differenz der Vektoren und abhängt. Wegen der Rotationssymmetrie ist die Greensfunktion nur eine Funktion des Betrags dieser Vektordifferenz

Man schreibt und benutzt anstelle von kartesischen Koordinaten ebene Polarkoordinaten Infolge der Symmetrie hängt die Greensfunktion nur von der Radialkoordinate ab . Mit der Darstellung der -Funktion in ebenen Polarkoordinaten (Kap. 2.3 (2.11))

und Integration der Differentialgleichung

über lautet das vereinfachte Problem in zwei Raumdimensionen

   Berechne die Greensfunktion im   durch Integration der vereinfachten Differentialgleichung.

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4.7 Antwort zu H6

Wieder stehen zwei Integrationsschritte an. Die erste Integration mit

liefert

Nochmalige Integration nach einfacher Sortierung

ergibt

(falls der Beitrag der unteren Grenze ohne größere Vorsicht behandelt wird). Dieses Ergebnis kann in der Form

geschrieben werden, da positiv ist.

   Welche Vereinfachung ergibt sich für die Greensfunktion im   aufgrund der Symmetrien im Fall von einfachen Randbedingungen?

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4.7 Antwort zu H7

In der dreidimensionalen Welt gilt

Auch in diesem Fall ist (für einfache Randbedingungen) die Ausnutzung der Symmetrien der Greensfunktion nützlich

Die Greensfunktion hängt nur von dem Abstand der beiden Punkte ab.

   Stelle die Differentialgleichung für das vereinfachte Problem im   auf und löse sie.

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4.7 Antwort zu H8

Benutzt man Kugelkoordinaten und integriert (analog zu der Behandlung des zweidimensionalen Problems) die Differentialgleichung über den Raumwinkel, so erhält man

Die Schritte zur Integration dieser Differentialgleichung sind

Im nächsten Schritt tritt auch hier eine Schwierigkeit auf

Dies ist das korrekte Ergebnis, doch ist die Herleitung suspekt.

   Um die Differentialgleichung für die dreidimensionale Greensfunktion sauber zu lösen, ist eine Fourierdarstellung der Lösung   notwendig. Bereite diese auf.

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4.7 Antwort zu H9

Die dreidimensionale Differentialgleichung kann mit einem Fourieransatz diskutiert werden. Man benötigt die Fourierdarstellung der -Funktion

Für die Greensfunktion kann man den Fourieransatz machen

   Bestimme die Fourierkoeffizienten anhand der Differentialgleichung   durch Koeffizientenvergleich.

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4.7 Antwort zu H10

Die Differentialgleichung ergibt mit dem Ansatz

Setze die Fourierdarstellung der -Funktion ein und vergleiche. Dies liefert

Zur Berechnung von sind die folgenden Schritte notwendig: Beginne mit

Das Winkelintegral ist

In der verbleibenden Integration

tritt ein uneigentliches Integral auf

Man erhält somit das bekannte Resultat

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