und
und
und berechne die Faktoren der Legendrepolynome für
und
für
. Kommentiere.
für verschiedene Werte von
.
und
und
und
für
. Kommentiere.
.
Spezifiziere die
Einzelpotentiale
des Ansatzes genauer und gib die explizite Form des Gesamtpotentials an.
als die z-Achse, so ist Zylindersymmetrie gegeben. Die Multipolentwicklung des
Punktpotentials ist dann
und 
der kleinere/größere der beiden
Abstände 
und vom Koordinatenursprung. Für das Potential, das
die zwei Kugelschalen erzeugen, setzt man (infolge der Zylindersymmetrie,
die dem Problem durch die Punktladung aufgeprägt wird) eine allgemeine
Multipolentwicklung nach den Legendrepolynomen mit unbestimmten Koeffizienten
an
Implementiere die
Randbedingungen und bestimme die vollständige Lösung.
und 
Betrachte die
Grenzfälle
und
ist
ein und 
)
welche?
) der ursprünglichen
Ladung 
eine Ladung 
angebracht wird. Die Potentiale der beiden
Ladungen kompensieren sich offensichtlich.
Im Grenzfall
ist
) verschwindet in dem
Zwischenraum ebenfalls.
Was erwartest Du bezüglich der
Konvergenz
der Multipolentwicklung? Betrachte das Zahlenbeispiel und
und
für
. Kommentiere.
abhängigen
Funktionen
und 
oder besser
von 
und 
in
nicht aus dem Rahmen fällt) weiter an,
während sie für Kreise mit kleineren und größeren Radien
für höhere 
-Werte wieder abfallen. Die Darstellung der
Singularität des Punktladungspotentials an der Stelle
mit einer Entwicklung, die auf den Koordinatenursprung
zugeschnitten ist, führt auf eine langsam (wenn überhaupt) konvergente
Reihe. Eine graphische Darstellung der Funktionen und
für die angegebenen Radien und -Werte in dem Bereich 
bis 
zeigt die Abb. 0.2. Die Kurven entsprechen
blau: 
schwarz: 
rot: 
Berechne die induzierte Verteilung von
Oberflächenladungen
auf den Kugelschalen und diskutiere das Resultat anhand der Parameter
.
ist für die
-Werte
(und
)
in den Abb. 0.3, 0.4 und
0.5 für eine Ladung mit Einheiten dargestellt.
Die Ladungsverteilung auf der inneren Schale ist durch die grünen Kurven,
die auf der äußeren Schale durch die blauen Kurven dargestellt
