Lösung der Aufgabe 5.3


Aus der Vorgabe kann man die Stromdichte der rotierenden Kugel zu

berechnen. Bei der Anwendung der Multipolentwicklung zu der Berechnung des Vektorpotentials anhand der Ausgangsformel

benutzt man

und die Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Kugelflächenfunktionen

Die Winkelintegration ergibt

wobei das verbleibende Radialintegral

darstellt. Zur Berechnung des Radialintegrals sind die Fallunterscheidungen (Feldpunkt außerhalb der Kugel) und (Feldpunkt innerhalb der rotierenden Kugel) notwendig. Für lautet das Radialintegral

Für muss man das Radialintegral in zwei Bereiche aufspalten

Führt man zur Zusammenfassung der drei Integrale wieder den Vektor ein, so kann man das Ergebnis für das Vektorpotential in der folgenden Form schreiben: Für erhält man

für lautet das Ergebnis

Das Vektorpotential ist für Punkte mit stetig. Zur Berechnung der magnetischen Induktion muss man die Rotation des Vektorpotentials bilden. Das Ergebnis lautet für

Das Außenfeld ist ein typisches Dipolfeld nach dem Muster

wobei das Dipolmoment durch

gegeben ist. Für ergibt eine entsprechende Rechnung

Die weitere Betrachtung wird etwas übersichtlicher, wenn man das Koordinatensystem so wählt, dass die Drehachse und die -Achse zusammenfallen. Mit dieser Wahl findet man für

die Komponenten

sowie

Hier erkennt man, dass sowohl die Normalkomponente von als auch die Tangentialkomponente an Stellen mit stetig sind. Die Stetigkeit der Normalkomponente entspricht der Relation . Die Stetigkeit der -Komponente kann man folgendermaßen erläutern: Es sind nur wahre Ströme vorhanden. Infolge der Abwesenheit von magnetisierter Materie gilt

Diese Aussage wird durch die Berechnung von bestätigt. So findet man in dem Außenraum

und in dem Innenraum

Dieses Resultat entspricht (bei der Wahl der Drehachse als -Achse) der Bestimmungsgleichung für die magnetische Feldstärke

Es besagt auch, dass man bei der Wahl einer Stokesschleife parallel zu einem Längengrad keinen Sprung in der -Komponente des Feldes erhält, diese Komponente also stetig ist. Bei der elementaren Auswertung stehen bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems die Integrale

zur Diskussion. Die Integration über den Azimutalwinkel bedingt, dass die Integrale für die - und die -Komponenten verschwinden. Es bleibt

mit

Die elementare Auswertung ergibt ein Resultat, das man in Übereinstimmung mit dem Ergebnis der Multipolentwicklung in der Form

schreiben kann.

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