Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.4

1. Gib die Formeln für die Berechnung der Stromdichte   an.
2. Werte die Formel für das Vektorpotential   mit Hilfe der Multipolentwicklung aus. Führe die Winkelintegration durch.
3. Führe die Radialintegration   für das Vektorpotential durch.
4. Berechne die magnetische Induktion.  
5. Überprüfe das magnetische Moment   durch direkte Berechnung.
6. Diskutiere das Resultat   für die magnetische Induktion.

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5.4 Antwort zu H1

Die Formel für die Stromdichte, die in Aufg. 5.3 benutzt wurde, ist auch in diesem Beispiel gültig. Die Tatsache, dass die Ladungsdichte auf eine infinitesimal dünne Schale beschränkt ist, greift an dieser Stelle noch nicht. Man betrachtet also auch hier ein Volumenelement der Kugelschale an der Stelle mit der Geschwindigkeit (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Zur Multipolentwicklung

Aus der Umschreibung

ergibt sich die Formel

   Werte die Formel für das Vektorpotential   mit Hilfe der Multipolentwicklung aus. Führe die Winkelintegration durch.

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5.4 Antwort zu H2

Zur Berechnung des Vektorpotentials

steht die Auswertung der Integrale

an. Zusammen mit der Multipolentwicklung

benutzt man die Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Kugelflächenfunktionen. Ausgehend von den Definitionen

findet man die Umkehrungen

Damit kann man die Winkelintegrale für die drei anstehenden Integrale ausführen. Im Einzelnen berechnet man

wobei das verbleibende Radialintegral

darstellt. Mit der Orthogonalitätsrelation erhält man

bzw. nach Wiedereinsetzen der Kugelflächenfunktionen

und entsprechend für die anderen Integrale

   Führe die Radialintegration   für das Vektorpotential durch.

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5.4 Antwort zu H3

Führt man zur Zusammenfassung der drei Integrale

wieder den Vektor ein, so kann man das Ergebnis für das Vektorpotential in der folgenden Form schreiben:

wobei hier durch

gegeben ist. Auch hier ist eine Fallunterscheidung für und notwendig. Ist so gilt

Für ist

Für das Vektorpotential erhält man somit bei Benutzung der Aussage

Das Vektorpotential ist für stetig.

   Berechne die magnetische Induktion.  

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5.4 Antwort zu H4

Für die magnetische Induktion findet man mit

in dem Innen- und dem Außengebiet der Kugelschale

Das Innenfeld ist homogen und proportional zu dem Vektor der Drehgeschwindigkeit. Das Außenfeld ist ein typisches Dipolfeld nach dem Muster

wobei das Dipolmoment gemäß

zu definieren ist.

   Überprüfe das magnetische Moment   durch direkte Berechnung.

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5.4 Antwort zu H5

Das Resultat für das magnetische Moment kann man auch direkt aus der Definition Kap. 5.3 (5.35)

gewinnen. Fächert man das doppelte Vektorprodukt auf und geht zu einer Koordinatendarstellung über, so findet man

Für die Winkelintegrale benutzt man

so dass man für den Winkelanteil () des zweiten Terms zunächst

erhält. Die verbleibende Integration mit

ergibt dann

Das magnetische Moment ist also in der Tat

   Diskutiere das Resultat   für die magnetische Induktion.

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5.4 Antwort zu H6

Die Betrachtung der Stetigkeit der Komponenten des -Feldes wird auch in diesem Beispiel durch die Wahl

vereinfacht. Für die Komponenten des Außenfeldes () erhält man

Die Komponenten des Innenfeldes () sind

Man stellt fest, dass die Radialkomponente für stetig ist, die Winkelkomponente dagegen nicht. Berechnet man in diesem Beispiel die Rotation der magnetischen Induktion, so findet man

Auch in diesem Beispiel sind keine magnetisierten Materialien vorhanden und das -Feld und das -Feld sind identisch. Doch bedingt die singuläre Stromdichte einen Sprung in der Winkelkomponente. Im Vergleich mit den Resultaten aus Aufg. 5.3 kann man bemerken: Die magnetische Induktion im Außenbereich stimmt bis auf einen Zahlenfaktor, der sich auch in dem magnetischen Moment niederschlägt, überein. Im Innenbereich ist die Induktion in diesem Beispiel ein konstanter Vektor in Richtung der Winkelgeschwindigkeit.

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