Lösung der Aufgabe 5.4


Die Formel für die Stromdichte, die in Aufg. 5.3 hergeleitet wurde,

ist auch in diesem Beispiel gültig. Zur Berechnung des Vektorpotentials benutzt man die Multipolentwicklung

und wertet die Winkelintegrale in

mit der Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Kugelflächenfunktionen aus. Das Resultat ist

wobei das verbleibende Radialintegral

ist. Führt man zur Zusammenfassung dieser drei Integrale wieder den Vektor ein, so kann man das Ergebnis für das Vektorpotential in der folgenden Form schreiben:

Ist so gilt für das Radialintegral

für ist

Für das Vektorpotential erhält man somit bei Benutzung der Aussage

Das Vektorpotential ist für stetig. Für die magnetische Induktion findet man mit

in dem Innen- und dem Außengebiet der Kugelschale

Das Innenfeld ist homogen und proportional zu dem Vektor der Drehgeschwindigkeit. Das Außenfeld ist ein typisches Dipolfeld nach dem Muster

wobei das Dipolmoment gemäß

zu definieren ist. Dieses Resultat für das magnetische Moment kann man auch direkt aus der Definition Kap. 5.3 (5.35)

gewinnen. Die Betrachtung der Stetigkeit der Komponenten des -Feldes wird auch in diesem Beispiel durch die Wahl

vereinfacht. Für die Komponenten des Außenfelds () erhält man ein Resultat, das bis auf den Vorfaktor mit dem Resultat der Vollkugel übereinstimmt

Die Komponenten des Innenfeldes () sind

Man stellt fest, dass die Radialkomponente für stetig ist, die Winkelkomponente dagegen nicht. Berechnet man in diesem Beispiel die Rotation der magnetischen Induktion, so findet man

Auch in diesem Beispiel sind keine magnetisierten Materialien vorhanden und das -Feld und das -Feld sind identisch. Doch bedingt die singuläre Stromdichte einen Sprung in der Winkelkomponente. Im Vergleich mit den Resultaten aus Aufg. 5.3 kann man bemerken: Die magnetische Induktion im Außenbereich stimmt bis auf einen Zahlenfaktor, der sich auch in dem magnetischen Moment niederschlägt, überein. Im Innenbereich ist die Induktion in diesem Beispiel ein konstanter Vektor in Richtung der Winkelgeschwindigkeit.

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