Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.5
  1. Berechne die Gesamtladung   sowie die Flächenladungsdichte auf der Kugelfläche.
  2. Diskutiere die Lösungsstrategie.  
  3. Welche `Zutaten` benötigt man zur Auswertung der Multipolentwicklung für das Vektorpotential?   Werte die Multipolentwicklung aus.
  4. Fasse das Resultat der Multipolentwicklung   des Vektorpotentials in geeigneter Form zusammen.
  5. Berechne die magnetische Induktion   und vergleiche mit dem Resultat von Aufg. 5.4.



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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































5.5 Antwort zu H1


Die Gesamtladung auf der Kugelfläche ist




Die Flächenladungsdichte ist somit



   Diskutiere die Lösungsstrategie.  


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5.5 Antwort zu H2


Das Lösungsschema ist das Gleiche wie in den Aufg. 5.3 und 5.4. Man benutzt die Stromdichte


und berechnet damit das Vektorpotential


und das magnetische Moment


Das -Feld folgt aus Da in diesem Beispiel die Richtung des Drehgeschwindigkeitsvektors ausgezeichnet ist, wählt man die Drehachse als -Achse. Das Vektorpotential ist durch




bestimmt.

   Welche `Zutaten` benötigt man zur Auswertung der Multipolentwicklung für das Vektorpotential?   Werte die Multipolentwicklung aus.


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5.5 Antwort zu H3


Zunächst werden die Winkelfunktionen im Zähler von


in Kugelflächenfunktionen umgeschrieben. Man benutzt dabei die Definitionen




Auflösung nach ergibt das Zwischenergebnis




aus dem man die Umschreibungen




und




gewinnen kann. Ausführung der Multipolentwicklung, der Winkelintegration (Orthogonalitätsrelation der Kugelflächenfunktionen) und der Radialintegration (trivial) liefert dann




wobei der kleinere und der größere der Radien und ist.

   Fasse das Resultat der Multipolentwicklung   des Vektorpotentials in geeigneter Form zusammen.


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5.5 Antwort zu H4


Die Kombinationen der verbleibenden Kugelflächenfunktionen können wieder zusammengefasst werden




Außerdem kann man das Kreuzprodukt


wieder einführen. Das Vektorpotential lautet dann




bzw. explizit für das Innengebiet




und das Außengebiet




Das Vektorpotential ist auf der Kugelfläche stetig.

   Berechne die magnetische Induktion   und vergleiche mit dem Resultat von Aufg. 5.4.


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5.5 Antwort zu H5


Das Vektorprodukt ergibt infolge der vorliegenden Geometrie


so dass die magnetische Induktion gemäß


berechnet werden kann. Das Ergebnis ist für




und für




Wie im vorherigen Beispiel findet man eine stetige Normalkomponente (wegen ) und einen Sprung in der Winkelkomponente (wegen der singulären Stromdichte). Infolge der nichtuniformen Ladungsverteilung findet man ein Feld mit höherer Multipolarität.


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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R. Dreizler C. Lüdde     2005