Lösung der Aufgabe 5.5


Die Gesamtladung auf der Kugelfläche ist

Die Flächenladungsdichte ist somit

Da in diesem Beispiel die Richtung des Drehgeschwindigkeitsvektors ausgezeichnet ist, wählt man die Drehachse als -Achse. Das Vektorpotential ist durch

bestimmt. Zunächst werden die Winkelfunktionen umgeschrieben. Man benutzt die Umschreibungen

und

Ausführung der Multipolentwicklung, der Winkelintegration (Orthogonalitätsrelation der Kugelflächenfunktionen) und der Radialintegration (trivial) liefert dann

wobei der kleinere bzw. größere der Radien und ist. Die Kombinationen der verbleibenden Kugelflächenfunktionen können wieder zusammengefasst werden, außerdem kann man das Kreuzprodukt

wieder einführen. Das Vektorpotential lautet dann

so dass die magnetische Induktion gemäß

berechnet werden kann. Das Ergebnis ist für

und für

Wie im vorherigen Beispiel findet man eine stetige Normalkomponente (wegen ) und einen Sprung in der Winkelkomponente (wegen der singulären Stromdichte). Infolge der nichtuniformen Ladungsverteilung findet man ein Feld mit höherer Multipolarität.

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