Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.6

1. Fasse die Grundgleichungen der Magnetostatik   bei Anwesenheit von magnetisierter Materie zusammen.
2. Welche Konsequenzen ergeben sich aus der mikroskopischen Materialgleichung   für das Sprungverhalten der Feldstärke an Grenzflächen.
3. Zeige, dass die magnetische Feldstärke   durch ein Skalarpotential dargestellt werden kann, falls keine wahren Ströme vorhanden sind.
4. Durch welche Gleichung wird das magnetische Skalarpotential   bestimmt? Gib die Lösung dieser Gleichung für einfache Randbedingungen an.
5. Stelle für den Eisenstab die vorgegebene Magnetisierung   mittels einer Gleichung dar.
6. Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung   für das Skalarpotential, die die Randbedingungen erfüllt. Nutze die Geometrie.
7. Welche Bedingungen erlauben die Bestimmung der speziellen Lösung   für das Skalarpotential in dem vorgegebenen Problem?
8. Setze die Bedingungen für das - und das -Feld   um.
9. Notiere das Endergebnis   für die Felder. Kommentiere.

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5.6 Antwort zu H1

Die Magnetostatik wird bei Anwesenheit von magnetisierter Materie durch die Gleichungen

charakterisiert. Die magnetische Induktion und die magnetische Feldstärke sind durch die Magnetisierung des vorhandenen Materials verknüpft

   Welche Konsequenzen ergeben sich aus der mikroskopischen Materialgleichung   für das Sprungverhalten der Feldstärke an Grenzflächen.

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5.6 Antwort zu H2

Aus der mikroskopischen Materialgleichung folgt die Relation

die Quellen der Feldstärke sind durch die Quellen der Magnetisierung bestimmt. Mit der Hilfe des Gaußtheorems ergibt sich aus dieser Relation z.B. die Aussage, dass die Normalkomponente der Feldstärke an Grenzflächen von magnetisiertem Material (1) und unmagnetisierter Materie (2) einen Sprung macht

   Zeige, dass die magnetische Feldstärke   durch ein Skalarpotential dargestellt werden kann, falls keine wahren Ströme vorhanden sind.

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5.6 Antwort zu H3

Sind keine wahren Ströme in dem Raumgebiet von Interesse vorhanden, so gilt die Aussage

anhand derer man die Feldstärke durch ein magnetisches Skalarpotential darstellen kann

   Durch welche Gleichung wird das magnetische Skalarpotential   bestimmt? Gib die Lösung dieser Gleichung für einfache Randbedingungen an.

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5.6 Antwort zu H4

Geht man mit dem Ansatz

in die Gleichung für die Divergenz der Feldstärke ein, so erhält man

eine Poissongleichung zur Bestimmung des magnetischen Skalarpotentials. Eine formale Lösung für den Fall von einfachen Randbedingungen (siehe Kap. 3.1)

ist

   Stelle für den Eisenstab die vorgegebene Magnetisierung   mittels einer Gleichung dar.

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5.6 Antwort zu H5

In der Aufgabe ist eine konstante Magnetisierung vorgegeben, bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems

innerhalb des Zylinders (s. Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Koordinatensystem

Ansonsten treten weder wahre Ströme noch zeitlich veränderliche elektrische Felder auf. Die Magnetisierung kann in ebenen Polarkoordinaten in der Form



   Welcher Form?

angegeben werden, so dass man für die Divergenz der Magnetisierung



   Berechne die Divergenz

erhält. ist nur auf der Oberfläche des Zylinders von Null verschieden. Aus diesem Grund kann man in den Gebieten und die Lösungen der Laplacegleichung

betrachten, die für in geeigneter Weise zu verknüpfen sind.

   Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung   für das Skalarpotential, die die Randbedingungen erfüllt. Nutze die Geometrie.

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5.6 Antwort zu H6

Die Translationssymmetrie in Richtung der Zylinderachse bedingt ein zweidimensionales Problem. Infolge der Zylinderymmetrie des Problems wird eine Lösung der Laplacegleichung in ebenen Polarkoordinaten gesucht. Die partielle Differentialgleichung

separiert mit dem Ansatz

in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die Periodizitätsbedingung an die Winkelfunktion lässt nur ganzzahlige Werte der Separationskonstanten zu. Die Fundamentallösungen der Winkelgleichung sind (siehe Kap. 3.3 (3.25))

Wählt man wie oben angegeben als Richtung der vorgegebenen Magnetisierung die -Richtung, so liegt Spiegelsymmetrie bezüglich dieser Achse vor (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Symmetrie des Problems

Für das vorliegende Problem ist nur die Lösungsschar

von Interesse. Die Lösungen der Radialgleichung, die man für mit dem Ansatz bestimmt, sind

Die Lösung mit ist

Um die Randbedingungen

zu erfüllen, muss man als Lösung der partiellen Differentialgleichung

ansetzen.

   Welche Bedingungen erlauben die Bestimmung der speziellen Lösung   für das Skalarpotential in dem vorgegebenen Problem?

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5.6 Antwort zu H7

Zur Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten der allgemeinen Lösung dienen die Anschlussbedingungen für :



   Welche?

• Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke
  
• Stetigkeit der Normalkomponente der magnetischen Induktion

Die magnetische Induktion ist mit und der Magnetisierung durch

verknüpft.

   Setze die Bedingungen für das - und das -Feld   um.

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5.6 Antwort zu H8

Zur Angabe von

ist die Berechnung der folgenden Ableitungen notwendig

Stetigkeit der Tangentialkomponente (-Komponente) erfordert

bzw.

Diese Bedingung folgt auch aus der Forderung der Stetigkeit des skalaren Magnetpotentials für

(mit da die ansonsten frei wählbare Konstante durch festgelegt wurde. Die Komponenten der magnetischen Induktion sind ( )

Die Forderung nach der Stetigkeit der Normalkomponente (der -Komponente) ergibt für

Zusammen mit der Relation folgt

Für gilt

Es folgt somit wegen der vorherigen Bedingung

   Notiere das Endergebnis   für die Felder. Kommentiere.

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5.6 Antwort zu H9

Damit kann man als Endergebnis notieren

Für Stellen mit springt die Normalkomponente von um den Betrag Das Außenfeld fällt mit ab.

Hier springt die Tangentialkomponente an den Stellen mit um den Betrag Die Variation der Feldkomponenten (ohne die trigonometrischen Funktionen) wird in Abb. 0.3 und 0.4) gezeigt.

Abbildung 0.3: Variation von und (Radialkomponente) mit

Abbildung 0.4: Variation von und (Winkelkomponente) mit

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