Lösung der Aufgabe 5.6
Die Magnetostatik wird bei Anwesenheit von magnetisierter Materie durch
die Gleichungen
charakterisiert. Die magnetische Induktion 
und die
magnetische Feldstärke 
sind durch die Magnetisierung des
vorhandenen Materials verknüpft
Aus der mikroskopischen Materialgleichung folgt die Relation
die Quellen der Feldstärke sind durch die Quellen der Magnetisierung
bestimmt. Sind keine wahren Ströme in dem Raumgebiet von Interesse
vorhanden, so gilt die Aussage
anhand derer man die Feldstärke durch ein magnetisches Skalarpotential
darstellen kann
Geht man mit dem Ansatz
in die Gleichung für die Divergenz der
Feldstärke ein, so erhält man
eine Poissongleichung zur Bestimmung des magnetischen Skalarpotentials.
Eine formale Lösung für den Fall von einfachen Randbedingungen
ist (siehe Kap. 3.1)
Für die Divergenz der vorgegebenen konstanten Magnetisierung, z.B.
findet man
Die Divergenz ist nur auf der Oberfläche des
Zylinders von Null verschieden. Man kann in den
Gebieten 
und 
die Lösungen der Laplacegleichung
betrachten, die für 
in geeigneter Weise zu verknüpfen sind.
Die partielle Differentialgleichung (nutze Geometrie)
separiert mit dem Ansatz
in die gewöhnlichen Differentialgleichungen
Für das vorliegende Problem sind nur die Lösungen
sowie
von Interesse. Um die Randbedingungen an
zu erfüllen, muss man als Lösung der partiellen Differentialgleichung
ansetzen.
Zur Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten der allgemeinen Lösung
dienen die Anschlussbedingungen für 
:
- Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke
- Stetigkeit der Normalkomponente der magnetischen Induktion
die mit und der Magnetisierung 
durch
verknüpft ist.
Auswertung dieser Bedingungen liefert
und
Das Endergebnis lautet somit
Für Stellen mit springt die Normalkomponente von um den
Betrag
Das Außenfeld fällt mit 
ab.
Hier springt die Tangentialkomponente an den Stellen mit um den
Betrag 
Die Variation der Feldkomponenten (ohne die trigonometrischen Funktionen)
wird in Abb. 0.1 und 0.2) gezeigt.
Abbildung 0.1:
Variation von und (Radialkomponente) mit 
 |
 |
Abbildung 0.2:
Variation von und (Winkelkomponente) mit
 |
Zurück zur Aufgabenstellung
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
