Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.2

1. Bereite die Auswertung der Formel zur Berechnung des Wechselstromkoeffizienten   vor.
2. Sortiere die anstehenden Integrationen in zwei Schritten durch geeignete Substitutionen.  
3. Führe das verbleibende Integral in eine Kombination von elliptischen Integralen   über.
4. Illustriere das Ergebnis, betrachte mögliche Spezialfälle durch Entwicklung der elliptischen Integrale.  

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6.2 Antwort zu H1

Der Wechselstromkoeffizient zwischen zwei Stromkreisen kann durch das Integral (siehe Kap. 6 (6.6))

berechnet werden. Zu integrieren ist über die Leitergeometrie, die durch die Kurven charakterisiert wird. Die Schleifen werden in infinitesimale Kurvenstücke zerlegt, deren Position durch die Ortsvektoren markiert werden. Mit der Wahl des Koordinatensystems, wie in Abbildung (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Koordinatenwahl

angedeutet, kann man die einzelnen Vektoren folgendermaßen notieren. Für die Positionsvektoren gilt:

Die infinitesimalen Wegstücke sind parallel zur - Ebene und haben die Länge Projiziert man sie auf die Achsen, so erhält man (siehe Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Linienelemente

Die Zutaten für das Integral sind somit: Der Abstand der infinitesimalen Elemente ist

bzw. nach direkter Auswertung

Das Skalarprodukt der infinitesimalen Elemente ist

Das Integral, das zur Auswertung ansteht, lautet somit

   Sortiere die anstehenden Integrationen in zwei Schritten durch geeignete Substitutionen.  

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6.2 Antwort zu H2

Da in dem Integral

nur periodische Funktionen auftreten, kann man als erste Substitution

benutzen. Die Jacobideterminante dieser Transformation hat den Wert

Somit wird ein Rechteck in der - Ebene mit den Seitenlängen in ein Rechteck der - Ebene mit den gleichen Seitenlängen abgebildet. Es folgt

Die Integration über ist trivial. Für die verbleibende -Integration zeigt man zunächst, dass, infolge der Periodizität der trigonometrischen Funktionen, das Integral über das Intervall zweimal dem Integral über das Intervall entspricht:

Man substituiert in dem zweiten Integral und benutzt

und

Für die weitere Diskussion des Integrals bietet sich (wie bei diversen Schwingungsproblemen der Mechanik) als zweite Substitution die Transformation

an. Die Substitution bedingt

sowie die Transformation der Grenzen

Das auszuwertende Integral kann nach diesen Schritten in der Form

notiert werden.

   Führe das verbleibende Integral in eine Kombination von elliptischen Integralen   über.

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6.2 Antwort zu H3

Um das Integral

weiter zu bearbeiten, ist es nützlich den Radikanden () im Nenner näher zu betrachten. Das Ziel ist, eine Form zu gewinnen, die eine Umschreibung in elliptische Integrale erlaubt. Man schreibt

zieht heraus und definiert

Es ist dann

Es ist als Nächstes die Frage zu beantworten, ob man den Zähler des Integranden in ähnlicher Weise umformen kann. Man erweitert zu diesem Zweck zunächst mit

und addiert und subtrahiert in der Klammer die

Setzt man diese Ergebnisse in das Integral ein, so stellt man fest, dass der Wechselinduktionskoeffizient durch zwei vollständige elliptische Integrale dargestellt werden kann. Es ist

bzw. in Standardnotation

Die elliptischen Integrale können (siehe Math.Kap. 4.5) durch Reihenentwicklungen dargestellt werden

die für gültig sind.

   Illustriere das Ergebnis, betrachte mögliche Spezialfälle durch Entwicklung der elliptischen Integrale.  

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6.2 Antwort zu H4

Falls man sich auf die Entwicklung der elliptischen Integrale in den niedrigsten Ordnungen beschränken kann, so ist

Zwei Spezialfälle können explizit betrachtet werden: Der Abstand ist groß gegen den Radius der Stromkreise. Es ist dann

Ist der Radius groß gegen den Abstand, so folgt

In diesem Fall ist es günstiger, das exakte Resultat oder eine der Parametertransformationen der elliptischen Integrale zu benutzen. Die Abbildung Abb. 0.3 zeigt einen Vergleich der Entwicklung für die Wechselinduktion (bis zur Ordnung , grün) mit dem exakten Ergebnis (blau) über den Bereich der möglichen -Werte.

Abbildung 0.3: Exaktes Resultat (blau) versus Entwicklung (grün)

Für -Werte bis ca. 0.6 ist die Entwicklung ausreichend.

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