Lösung der Aufgabe 6.2


Der Wechselstromkoeffizient zwischen zwei Stromkreisen ist durch das Integral

definiert. Mit der vorgegebenen Leitergeometrie (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Koordinatenwahl

lautet das Integral, das zur Auswertung ansteht,

Die Transformation (periodische Funktionen!)

führt auf

Die Integration über ist trivial. Für die verbleibende -Integration zeigt man zunächst, dass, infolge der Periodizität der trigonometrischen Funktionen, das Integral über das Intervall zweimal dem Integral über das Intervall entspricht. Für die weitere Diskussion des Integrals bietet sich die Transformation

an, die zu dem Integral

führt. Durch Umschreibung von Zähler und Nenner stellt man fest, dass der Wechselinduktionskoeffizient durch zwei vollständige elliptische Integrale dargestellt werden kann:

bzw. in Standardnotation

Falls man sich auf die Entwicklung der elliptischen Integrale in den niedrigsten Ordnungen beschränken kann, so ist

Zwei Spezialfälle können explizit betrachtet werden: Der Abstand ist groß gegen den Radius der Stromkreise. Es ist dann

Ist der Radius groß gegen den Abstand, so folgt

In diesem Fall ist es günstiger, das exakte Resultat oder eine der Parametertransformationen der elliptischen Integrale zu benutzen. Die Abbildung Abb. 0.2 zeigt einen Vergleich der Entwicklung für die Wechselinduktion (bis zur Ordnung , grün) mit dem exakten Ergebnis (blau) über den Bereich der möglichen -Werte.

Abbildung 0.2: Exaktes Resultat (blau) versus Entwicklung (grün)

Für -Werte bis ca. 0.6 ist die Entwicklung ausreichend.

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