Lösung der Aufgabe 6.3


Zur Berechnung der Magnetfelder der Doppelkabelanordnungen benutzt man das Ampèresche Gesetz, zweckmäßigerweise in der Form

wobei die (orientierte) Randkurve der Fläche darstellt. Infolge der Zylindersymmetrie ergibt die Auswertung

Man benutzt dann

Im Fall (a) fließt in dem (dünnwandigen) inneren Hohlrohr der Strom , in dem äußeren (ebenfalls dünnwandigen) der Strom Diese Situation wird in Zylinderkoordinaten (bzw. ebenen Polarkoordinaten) durch die Stromdichte

dargestellt. Das Integral über die Stromdichte ist nur in dem Zwischengebiet von Null verschieden

so dass man

erhält. Das Magnetfeld in dem Zwischenraum entspricht dem Magnetfeld eines (geraden) Drahtes entlang der Zylinderachse. Die magnetische Induktion in dem Zwischenraum ist proportional zu der Feldstärke

Im Fall (b) fließt durch den inneren Vollzylinder der Strom durch den äußeren (dickwandigen) Hohlzylinder der Strom Die uniforme Stromdichte kann somit nach dem Muster Strom/Fläche in der Form dargestellt werden: Innerer Zylinder:

Äußerer Zylinder:

Damit erhält man für das Integral über die Stromdichte die folgenden Teilresultate

Der effektive in der jeweiligen Fläche eingeschlossene Strom ist in Abbildung (Abb. 0.1) dargestellt.

Abbildung 0.1: Effektiver Strom als Funktion von (Fall b)

Die magnetische Feldstärke (Abb. 0.2 )

Abbildung 0.2: Die magnetische Feldstärke (Fall b)

ist demnach in den vier Gebieten

Die Relation zwischen der Feldstärke und der Induktion ist eine lokale Aussage. Es ist also auch hier Punkt für Punkt

falls eine Magnetisierung des Leitermaterials vernachlässigt wird. Die Selbstinduktionskoeffizienten können über den magnetischen Fluss

berechnet werden. Die Fläche ist ein Rechteck, dessen eine Seite von der Zylinderachse bis zu dem Zylindermantel verläuft, die andere Seite ist eine Strecke der Länge in der Achsenrichtung (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Details zur Berechnung des Selbstinduktionskoeffizienten

Man findet dann im Fall (a)

und somit für die Selbstinduktion pro Längeneinheit

Im Fall (b) berechnet man

Die Selbstinduktion pro Längeneinheit ist somit

Lässt man in dem zweiten Beispiel den Radius gegen den Radius gehen (dünne Wand), so erhält man

Der logarithmische Term entspricht dem Beitrag des Zwischenraums, der konstante Term dem Beitrag des leitenden Kerns in der Anordnung (b).

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