Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.4

1. Teilaufgabe (1): Berechne die durch das Drahtfeld induzierte Spannung.  
2. Teilaufgabe (1): Kommentiere das einfache Ergebnis.  
3. Teilaufgabe (2): Berechne die induzierte Spannung für die Kreisfläche.  
4. Teilaufgabe (2): Vergleiche die Ergebnisse der ersten Teilaufgaben:   Unter welcher Bedingung ist die induzierte Spannung gleich?
5. Teilaufgabe (3): Gewinne das Ergebnis für die induzierte Spannung ohne Rechnung.  
6. Teilaufgabe (3): Finde einen Ansatz   zur Berechnung des Flussintegrals in diesem Fall.
7. Berechne das Flussintegral für die Rotation der Rechteckschleife um die -Achse.  
8. Finde einen Ansatz für den magnetischen Fluss, falls die Rechteckschleife um die -Achse   rotiert.
9. Nur für Liebhaber von Integrationen: Berechne den Fluss für die Rotation   um die -Achse.

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6.4 Antwort zu H1

Der Draht erzeugt im Vakuum ein Magnetfeld (Kap. 5.2 (5.9))

In der Ebene der Leiterschleife, der - Ebene bei der in Abb. 0.1

Abbildung 0.1: Details zur Geometrie

getroffenen Wahl des Koordinatensystems, ist

Die induzierte Spannung wird über das Faradaysche Gesetz (Kap.  6.1.1 (6.3))

berechnet. ist die Fläche der rechteckigen Leiterschleife, die bei der angegebenen Orientierung des Randes in die Elemente

aufgeteilt werden kann. Die induzierte Spannung ist somit durch das Integral

gegeben.

   Teilaufgabe (1): Kommentiere das einfache Ergebnis.  

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6.4 Antwort zu H2

Der Fluss durch die Schleife

ändert sich wie der induzierende Strom mit der Sinusfunktion, doch entsprechend der Lenzschen Regel mit einem umgekehrten Vorzeichen (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Rechteckschleife mit : Zeitablauf

Die Singularität des Flusses (und der Spannung) für ist dadurch bedingt, dass in diesem Fall ein unendlich starkes Feld durch die Rechteckschleife greift. Die induzierte Spannung folgt einem Kosinusgesetz, ist also um gegenüber dem Strom phasenverschoben Sie hat Maximalwerte (positiv und negativ) für Zeitpunkte mit der größten Änderung der Flusses Zu den Zeitpunkten mit einer verschwindenden Flussänderung nimmt sie den Wert Null an.

   Teilaufgabe (2): Berechne die induzierte Spannung für die Kreisfläche.  

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6.4 Antwort zu H3

Ist die Leiterschleife kreisförmig, wobei der Mittelpunkt des Kreises den Abstand von dem Draht hat (Abb. 0.3),

Abbildung 0.3: Geometrie für die kreisförmige Schleife

so ist die induzierte Spannung durch

gegeben. Die Auswertung des Integrals über die Kreisfläche

kann auf direkte Weise durchgeführt werden. Es ist nützlich (wenn auch nicht notwendig) die -Integration zuerst auszuführen

Die Grenzen für die -Integration ergeben sich aus der Kreisgleichung (Abb. 0.4)

Abbildung 0.4: Kreisförmige Schleife mit : Details zur Geometrie

Das Zwischenergebnis

kann mit der Substitution in

umgeschrieben werden. Die zwei Einzelintegrale sind

Damit erhält man für die induzierte Spannung

   Teilaufgabe (2): Vergleiche die Ergebnisse der ersten Teilaufgaben:   Unter welcher Bedingung ist die induzierte Spannung gleich?

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6.4 Antwort zu H4

Die in den Fällen (1) und (2) induzierten Spannungen sind gleich groß, falls

ist. Auflösung nach ergibt

   Teilaufgabe (3): Gewinne das Ergebnis für die induzierte Spannung ohne Rechnung.  

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6.4 Antwort zu H5

Rotiert das Rechteck von Teilaufgabe (1) bei stationärem Strom um die -Achse, so ist, wie in Abb. 0.5 angedeutet,

Abbildung 0.5: Rotation I: Einfaches Argument

die magnetische Induktion auf der Fläche zu jedem Zeitpunkt antiparallel zu den infinitesimalen Flächenelementen. Das bedeutet, dass der Fluss durch die Schleife sich nicht mit der Zeit ändert und somit keine Spannung induziert wird.

   Teilaufgabe (3): Finde einen Ansatz   zur Berechnung des Flussintegrals in diesem Fall.

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6.4 Antwort zu H6

Die explizite Rechnung kann mit der kartesischen Zerlegung des Flächenelementes, das heißt der Projektion des Vektors auf die Koordinatenebenen (unter Berücksichtigung der Orientierung, Abb. 0.6) durchgeführt werden

Abbildung 0.6: Rotation I: Aufbereitung der Rechnung

Da die interessierenden Punkte auf der rotierenden Ebene liegen, gilt (Abb. 0.7)

Abbildung 0.7: Rotation I: Projektion auf Achsen

Die für die Integration (in einer Richtung senkrecht zu der Drehachse) relevante Variable ist Die infinitesimalen Längen in den Koordinaten und sind somit

so dass man für den Flächenvektor

schreiben kann. Für den Vektor der magnetischen Induktion, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt, lautet die Zerlegung

Das Flussintegral, das somit zur Auswertung ansteht, ist (Abb. 0.8)

Abbildung 0.8: Rotation I: 3D Ansicht

wobei die Integrationsgrenzen durch

festgelegt sind.

   Berechne das Flussintegral für die Rotation der Rechteckschleife um die -Achse.  

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6.4 Antwort zu H7

Zur Auswertung des Integrals

kann man anmerken, dass der Betrag der magnetischen Induktion nur eine Funktion von und somit zeitunabhängig ist

Das verbleibende Integral liefert einen zeitlich konstanten Fluss

und somit

   Finde einen Ansatz für den magnetischen Fluss, falls die Rechteckschleife um die -Achse   rotiert.

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6.4 Antwort zu H8

Rotiert das Rechteck um die -Achse (Abb. 0.9),

Abbildung 0.9: Rotation II: Aufbereitung der Rechnung ()

so lautet die Komponentenzerlegung des infinitesimalen Flächenvektors (Abb. 0.10)

Abbildung 0.10: Rotation II: Aufbereitung der Rechnung ()

Punkte auf der Ebene werden in diesem Fall durch

charakterisiert, wobei der Abstand von der -Achse ist. Die magnetische Induktion, die durch die Fläche greift, kann in der Form

zerlegt werden. Der Winkel ist der Winkel der Tangenten an die kreisförmigen Feldlinien projiziert in die - Ebene, mit

Mit diesen Vorgaben erhält man für den Integranden des Flussintegrals

In diesem Ausdruck ist durch

zu ersetzen. Für die magnetische Induktion gilt

Die Integrationsgrenzen für die anstehenden Integrationen sind

Es ist somit das Integral

zu berechnen.

   Nur für Liebhaber von Integrationen: Berechne den Fluss für die Rotation   um die -Achse.

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6.4 Antwort zu H9

Zur Berechnung des Doppelintegrals

ist es zweckmäßig, mit der -Intgration zu beginnen. Es ist (setze )

Das verbleibende Integral über die Variable lautet somit

Mit der Substitution

geht dieses Integral in

über. Laut Integraltafel (oder mit partieller Integration) ergibt dieses Integral

Setzt man die Grenzen ein und sortiert alle Faktoren, so erhält man schließlich

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