Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.6

1. Um das Zwischenergebnis für den Energieinhalt zu gewinnen, muss man den Integranden der Energieformel   mit Hilfe der Vektoranalysis und der Eigenschaften der Felder umformen.
2. Benutze die Aussage `dünne Leiter`   und eine Eigenschaft des magnetischen Flusses, um die Aussage (i) zu beweisen.
3. Welche Formel für das Vektorpotential   benutzt man in dem Zwischenergebnis für den Fall eines einzigen Stromkreises? Wieder ist der Leiter dünn.
4. Wie wird das Ergebnis modifiziert,   wenn die Schleife(n) in einem Material eingebettet ist (sind)?

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6.6 Antwort zu H1

Der Energieinhalt eines (stationären) Magnetfeldes ist (siehe Kap. 6.4.1 (6.51))

Der Integrand kann mit der Relation

und dem Ampèreschen Gesetz

umgeschrieben werden. Man erhält

Das Volumenintegral über die Divergenz wird mit dem Gaußtheorem umgeschrieben

und kann, bei einfachen Randbedingungen, vernachlässigt werden. Es verbleibt

   Benutze die Aussage `dünne Leiter`   und eine Eigenschaft des magnetischen Flusses, um die Aussage (i) zu beweisen.

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6.6 Antwort zu H2

Für ein System aus dünnen Leitern aus -Stromschleifen kann die Stromdichte durch Ströme dargestellt werden

Das verbleibende Integral

wird mit dem Satz von Stokes umgeformt

Das Resultat ist der magnetische Fluss durch die -te Stromschleife. Benutzt man hier (der Argumentation von Kap. 6.1.2 folgend) die Relation

die die Wechsel- und die Selbstinduktionskoeffizienten mit dem magnetischen Fluss verknüpfen, so erhält man die gewünschte Beziehung

Liegt nur ein Stromkreis vor , so folgt

   Welche Formel für das Vektorpotential   benutzt man in dem Zwischenergebnis für den Fall eines einzigen Stromkreises? Wieder ist der Leiter dünn.

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6.6 Antwort zu H3

Ausgangspunkt ist die Darstellung des Energieinhaltes

aus Teil (i). Das Vektorpotential kann gemäß Kap. 5.3 (5.24) aus der Stromdichte durch

berechnet werden, so dass man

benutzen kann. Schreibt man hier die Stromdichte mittels

um, so folgt

Durch Vergleich mit der Formel

kann man

ablesen.

   Wie wird das Ergebnis modifiziert,   wenn die Schleife(n) in einem Material eingebettet ist (sind)?

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6.6 Antwort zu H4

Ist die Stromschleife in ein Material, das der einfachen Materialgleichunggenügt, eingebettet, so kann man die Gleichungen

benutzen. Damit wird das Zwischergebnis und somit auch das Endergebnis mit dem Faktor multipliziert.

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