Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.1

1. Betrachte die Spannung und Ladung an dem Kondensator und den Stromfluss durch den Widerstand. Stelle auf dieser Basis die Differentialgleichung   auf.
2. Löse die gewonnene inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung.  
3. Was stellt die Lösung   dar? Diskutiere.
4. Extrahiere in dem Stromkreis für große Zeiten und gib den effektiven Widerstand   an.
5. Benutze den komplexen Ansatz   zur Diskussion der speziellen Lösung der Differentialgleichung.
6. Bestimme anhand der Lösung und der Definition den komplexen Wechselstromwiderstand des Schwingkreises.  
7. Veranschauliche die Beiträge zu der Spannung   in der komplexen Zahlenebene. Kommentiere.

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7.1 Antwort zu H1

Abbildung 0.1: Der RC-Stromkreis

Für die an dem Kondensator anliegende Spannung und Ladung (Abb. 0.1) gilt die Relation

wobei und den Potentialwerten auf den Kondensatorplatten entsprechen. Der (als Verschiebungsstrom) durch den Kondensator fließende Strom ist somit

An dem Widerstand liegt die Spannung an. Es fließt also nach dem Ohmschen Gesetz der Strom

da der Stromkreis keine weiteren Abzweigungen enthält. Kombination der beiden Aussagen, liefert die Differentialgleichung für die Spannung an dem Widerstand (bzw. das Potential in dem Stromkreis zwischen Kondensator und Widerstand)

   Löse die gewonnene inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung.  

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7.1 Antwort zu H2

Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung

setzt sich aus der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung

und einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammen. Diese wird über den Ansatz

zu

bestimmt.

   Was stellt die Lösung   dar? Diskutiere.

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7.1 Antwort zu H3

Die gesamte Lösung

beschreibt in dem abklingenden Term den Einschaltvorgang sowie in dem zweiten Term die Respons des Stromkreises auf die anregende Spannung. Die Langzeitrespons ist gegenüber der anregenden Spannung phasenverschoben. Definiert man

so findet man

Die Amplitude von ist gegenüber der anregenden Spannung um den Faktor

reduziert (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung des RC-Stromkreises

Die Integrationskonstante wird durch die Anfangsbedingung festgelegt, z.B. wie in der Aufgabenstellung gefordert durch Daraus würde folgen

   Extrahiere in dem Stromkreis für große Zeiten und gib den effektiven Widerstand   an.

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7.1 Antwort zu H4

Betrachtet man die Stromstärke, nachdem der Einschaltprozess abgeklungen ist ( ), so kann man die Gleichung

in der Form

schreiben. Die Größe

kann als effektiver Widerstand interpretiert werden. Der Kondensator bedingt einen zusätzlichen Widerstand (einen Wechselstromwiderstand), der in dem Grenzfall unendlich groß wird: Durch den Kondensator kann kein Gleichstrom fließen.

   Benutze den komplexen Ansatz   zur Diskussion der speziellen Lösung der Differentialgleichung.

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7.1 Antwort zu H5

Setzt man die anfängliche Wechselspannung in der Form

an, wobei der Realteil dieser Funktion den eigentlichen Zeitablauf beschreibt, so kann man die Differentialgleichung

mit dem naheliegenden Ansatz

bearbeiten. Ist , wie angegeben, reell, so erfasst man mit diesem Ansatz nur die spezielle Lösung. Mit dem Ansatz wird die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung übergeführt

Sortierung ergibt

Definiert man wie zuvor die Phasenverschiebung gegenüber der anregenden Spannung durch

und schreibt die komplexe Amplitude in der Form

so findet man für die Restamplitude

Die spezielle Lösung kann also in der Form

notiert werden.

   Bestimme anhand der Lösung und der Definition den komplexen Wechselstromwiderstand des Schwingkreises.  

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7.1 Antwort zu H6

Definiert man durch

einen Wechselstromwiderstand so ist wegen dieser Widerstand

Der Betrag dieses Widerstandes ist die oben definierte Größe .

   Veranschauliche die Beiträge zu der Spannung   in der komplexen Zahlenebene. Kommentiere.

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7.1 Antwort zu H7

Es ist

Zur Veranschaulichung benutzt man eine Darstellung in der komplexen Zahlenebene, in der die komplexe Spannung durch den Ohmschen Widerstand und die komplexe Spannung durch den kapazitiven Widerstand aufgetragen wird. Die beiden Spannungen stehen infolge des Faktors senkrecht aufeinander (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Der zeitliche Verlauf der komplexen Spannungswerte

Die Ausgangsspannung ist gegenüber um den Winkel phasenverschoben. Sie entspricht der Summe der beiden komplexen Spannungswerte. Die Zeitentwicklung der Lösung entspricht einer Drehung des Diagramms mit der Winkelgeschwindigkeit um den Nullpunkt (Der rote Vektor entspricht ).

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