Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.10

1. Gib die magnetische Feldstärke   des Solenoids ohne Metallzylinder in komplexer Form an.
2. Beschreibe die generelle Form der Wirbelstromdichte   nach Einführen des Metallzylinders. Notiere die benötigten Ableitungen dieser Größe.
3. Gib die hier gültige Differentialgleichung   für die Wirbelstromdichte und deren Lösung an.
4. Berechne die modifizierte Feldstärke.  
5. Gib eine Randbedingung   für die magnetische Feldstärke an, die es erlaubt die Wirbelstromdichte vollständig festzulegen.
6. Analysiere die Konstante   im Detail. Diskutiere die Konsequenzen.
7. Schreibe die hier auftretende asymptotische Form der Besselfunktionen   zwecks Trennung von Real- und Imaginärteil um.
8. Notiere das Endresultat   und diskutiere.
9. Was ist die explizite (reelle) Zeitabhängigkeit   der Wirbelstromdichte und der magnetischen Feldstärke?

Werkzeuge

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7.10 Antwort zu H1

In einem Solenoid (Abb. 0.1), in dem ein Wechselstrom fließt, ist das Magnetfeld gleich (Kap. 5.2.3 (5.22))

Abbildung 0.1: Ein Schnitt durch das Solenoid

Im Folgenden ist es nützlich die komplexe Schreibweise

zu benutzen, so dass

ist.

   Beschreibe die generelle Form der Wirbelstromdichte   nach Einführen des Metallzylinders. Notiere die benötigten Ableitungen dieser Größe.

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7.10 Antwort zu H2

Der Strom, der das Magnetfeld erzeugt, fließt in der -Richtung. Die Wirbelstromdichte, die das Magnetfeld umschließt, hat ebenfalls nur eine -Komponente

die infolge der Symmetrie nur von der radialen Zylinderkoordinate abhängt. Infolge dieser Symmetrie gilt (siehe Werkzeuge)

und

   Gib die hier gültige Differentialgleichung   für die Wirbelstromdichte und deren Lösung an.

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7.10 Antwort zu H3

Die Differentialgleichung zur Bestimmung des Ortsanteils der Stromdichte

mit

ist eine Differentialgleichung für die Besselfunktion mit dem Index 1. Die für reguläre Lösung ist

wobei der Faktor der infolge der Homogenität der Differentialgleichung auftritt, noch zu bestimmen ist.

   Berechne die modifizierte Feldstärke.  

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7.10 Antwort zu H4

Für die Angabe des zugehörigen Magnetfeldes benötigt man die Formeln für eine Ableitung der Besselfunktion mit dem Index 1

Man erhält damit aus

   Gib eine Randbedingung   für die magnetische Feldstärke an, die es erlaubt die Wirbelstromdichte vollständig festzulegen.

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7.10 Antwort zu H5

Zur Bestimmung der Konstanten benutzt man die Aussage, dass für also an der `Berührungsstelle` von Metallkern und Solenoidwindung, sein muss. Diese Bedingung liefert

   Analysiere die Konstante   im Detail. Diskutiere die Konsequenzen.

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7.10 Antwort zu H6

Zur weiteren Diskussion der Lösungen und benötigt man eine explizite Aussage über die komplexe Größe Mit dem Ansatz (, reell) erhält man

und die Auflösung

(Die Wahl des Vorzeichens erweist sich im Endeffekt (siehe unten) als nicht relevant, so dass man sich auf das Pluszeichen beschränken kann.) Der reelle Vorfaktor ist groß genug, so dass man für fast alle Werte von die asymptotische Form der Besselfunktionen benutzen kann

   Schreibe die hier auftretende asymptotische Form der Besselfunktionen   zwecks Trennung von Real- und Imaginärteil um.

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7.10 Antwort zu H7

Zur Anwendung der Formel

ist eine Umschreibung notwendig. Mit

und der Darstellung der Kosinusfunktion durch komplexe Exponentialfunktionen findet man für den Fall

Für große Werte von dominiert der erste Term, so dass man

erhält. Entsprechend findet man für

   Notiere das Endresultat   und diskutiere.

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7.10 Antwort zu H8

Mit diesen Ausdrücken lauten die Ortsanteile der Wirbelstromdichte und des Feldes (in der oben angegebenen Näherung)

Betrachtet man die Funktion

so stellt man fest, dass die Wirbelströme vorwiegend an der Oberfläche des Metallkerns fließen und dass das Magnetfeld, das in einem nichtgefüllten Solenoid homogen ist, durch den Induktionseffekt aus dem Inneren des Metallkerns verdrängt wird (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Pauschale Variation von und mit ( , )

   Was ist die explizite (reelle) Zeitabhängigkeit   der Wirbelstromdichte und der magnetischen Feldstärke?

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7.10 Antwort zu H9

Die Zeitabhängigkeit der beiden Größen hat wegen

die Form von phasenverschobenen Wellen, die mit der Geschwindigkeit

in das Innere des Zylinders eindringen.

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