Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.14

1. Gib die benötigten Grundgleichungen zur Diskussion der TM-Mode   an.
2. Löse die partielle Differentialgleichung   für die -Komponente des elektrischen Feldes der TM-Mode.
3. Implementiere die Randbedingungen.   Kommentiere.
4. Diskutiere die Situation für die TM-Mode mit dem Index .  
5. Diskutiere die TM-Moden mit dem Index .  
6. Berechne die anderen Feldkomponenten   der TM-Mode.
7. Löse die Differentialgleichung für die Komponente in der TE-Mode   und diskutiere die Randbedingungen.
8. Betrachte die Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit   einer Hohlleiterwelle (im Vakuum).

Werkzeuge

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7.14 Antwort zu H1

Für die Diskussion einer TM-Welle in einem Hohlleiter mit kreisförmigem Querschnitt benutzt man Zylinderkoordinaten. Die Differentialgleichung für die Funktion lautet (Kap. 7.2.3.2)

wobei

ist. Diese Differentialgleichung ist mit der Randbedingung

zu lösen. Die anderen Feldkomponenten sind durch

zu berechnen. Die Zeitabhängigkeit aller Feldkomponenten ist

   Löse die partielle Differentialgleichung   für die -Komponente des elektrischen Feldes der TM-Mode.

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7.14 Antwort zu H2

Zur Lösung der Differentialgleichung

kann man den Separationsansatz

machen und erhält die Aussage

Die separierte (gewöhnliche) Differentialgleichung

hat infolge der Periodizitätsbedingung die Lösung

bzw. eine entsprechende reelle Funktion. Die gewöhnliche Differentialgleichung für die Radialfunktion

ist die Differentialgleichung der Besselfunktionen mit ganzzahligen Index (Math.Kap. 4.4.2). Die im Innern des Zylinders reguläre Lösung ist

   Implementiere die Randbedingungen.   Kommentiere.

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7.14 Antwort zu H3

Die Randbedingung erfordert

Die zulässigen Werte für die Konstante werden durch die Nullstellen der Besselfunktionen (bei vorgegebenem Radius) bestimmt. Diese sind für , ganzzahlig, alle reell. So sind z.B. die ersten (der unendlich vielen) Nullstellen der Funktion (siehe Werkzeuge und Literaturliste)

   Diskutiere die Situation für die TM-Mode mit dem Index .  

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7.14 Antwort zu H4

Die erste Nullstelle führt auf die Relation

für das Quadrat der `Wellenzahl`. Ist negativ, also imaginär, so entspricht die Welle mit einer exponentiell gedämpften Welle in der -Richtung, die sich in dem Hohlleiter nur über eine kurze Strecke ausbreitet. Derartige Wellen werden als `cut-off`-Moden bezeichnet. Wellen, die sich in dem Hohlleiter `unbegrenzt` ausbreiten, müssen eine Frequenz haben, die größer als die Grenzfrequenz ist. Aus folgt

Mit dem angegebenen Radius findet man, dass größer als

sein, also im Hochfrequenzbereich liegen muss.

   Diskutiere die TM-Moden mit dem Index .  

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7.14 Antwort zu H5

Berücksichtigt man die Nullstellen der Besselfunktionen mit höherem Index

etc., so findet man entsprechende Grenzfrequenzen

Abbildung 0.1: Dispersionsrelationen der TM-Moden

In der Darstellung (Abb. 0.1) ist mit aufgetragen. Man erkennt, dass für jeden Frequenzwert () nur eine endliche Zahl von Moden existiert. Durch Wahl der Frequenz der eingespeisten Welle kann man den `Arbeitsbereich` und somit die Funktionsweise des Hohlleiters regulieren.

   Berechne die anderen Feldkomponenten   der TM-Mode.

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7.14 Antwort zu H6

Zur Angabe der weiteren Feldkomponenten kann man mit einer reellen Form der Lösung für arbeiten. Wählt man z.B. für den Index

so findet man

Die entsprechenden Komponenten und des Magnetfeldes unterscheiden sich von den entsprechenden Komponenten des -Feldes

nur um einen Faktor.

Abbildung 0.2: Die Felder der TM-Moden

   Löse die Differentialgleichung für die Komponente in der TE-Mode   und diskutiere die Randbedingungen.

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7.14 Antwort zu H7

Für die TE-Moden ist die grundliegende Differentialgleichung

zu diskutieren. Der Radialanteil in

ist der gleiche wie für die TM-Mode

Die Randbedingung lautet zunächst: Die Tangentialkomponente des -Feldes muss auf dem Rand des Hohlleiters verschwinden. Da jedoch

gilt, beinhaltet diese Forderung auch das Verschwinden der Normalkomponente des -Feldes. Für die -Komponente des -Feldes gewinnt man wegen

letztlich die Aussage: Die Normalenableitung von muss auf dem Rand des Hohlleiters den Wert Null annehmen

Für die Mode mit ist z.B.

Die Grenzfrequenz folgt hier aus der ersten Nullstelle von

zu

Diese Grenzfrequenz liegt oberhalb der niedrigsten Grenzfrequenz der TM-Moden.

   Betrachte die Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit   einer Hohlleiterwelle (im Vakuum).

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7.14 Antwort zu H8

Die Dispersionsrelation der Hohlleiterwelle (im Vakuum) kann in der Form

geschrieben werden. Aus den Definitionen (für den Fall einer monochromatischen Welle)
für die Phasengeschwindigkeit
für die Gruppengeschwindigkeit
gewinnt man die Aussagen: Die Phasengeschwindigkeit ist

Sie ist größer als die Lichtgeschwindigkeit. Da sie keine Propagation eines Signals beschreibt, ist dies kein Widerspruch zur Relativitätstheorie. Für die Gruppengeschwindigkeit gilt

Das eigentliche Signal breitet sich mit einer Geschwindigkeit aus, die kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.

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