Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.15
-
Notiere die
Maxwellgleichungen
mit dem Ansatz für Hohlleiterwellen in den relevanten Koordinaten.
-
Stelle die entsprechenden
Bestimmungsgleichungen
für die TM-Moden auf.
-
Löse die
Differentialgleichung
für
mit den erforderlichen Randbedingungen.
-
Diskutiere die
Dispersionsrelation
der TM-Wellen.
-
Berechne und diskutiere die restlichen
Feldkomponenten.
-
Gib die Komponenten des
Poyntingvektors
für die vorliegende Situation an.
-
Zur expliziten Auswertung ist eine
reelle Form
erforderlich. Gib diese an.
-
Berechne den
zeitlichen Mittelwert
des Poyntingvektors. Kommentiere.
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2005
7.15 Antwort zu H1
Die Maxwellgleichungen
sind in kartesischen Koordinaten zu diskutieren. Mit dem Ansatz
erhält man als Bestimmungsgleichung für die sechs Funktionen
und 
Stelle die entsprechenden
Bestimmungsgleichungen
für die TM-Moden auf.
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7.15 Antwort zu H2
Für TM-Wellen ist 
Die restlichen Komponenten des
-Feldes sind dann direkt mit den 
- und 
-Komponenten
des 
-Feldes verknüpft
Die Gleichungen
liefern eine Verknüpfung der - und -Komponenten des
-Feldes mit den partiellen Ableitungen von 
Definiert man
so kann man
schreiben.
Die Gleichung
ist identisch erfüllt, während die Gleichung
die Bestimmungsgleichung für die 
-Komponente des -Feldes
liefert
Löse die
Differentialgleichung
für mit den erforderlichen Randbedingungen.
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7.15 Antwort zu H3
Die Randbedingung lautet
Die elektrische Feldkomponente 
muss auf dem Rand des Hohlleiters
verschwinden. Explizit erfordert dies
Die Differentialgleichung kann mit dem Ansatz
separiert werden
wobei
sein muss. Für die Lösungen dieser gewöhnlichen
Differentialgleichungen
gelten die Randbedingungen
Diese Bedingungen erfordern 
und
Damit erhält man die Grundlösungen
für die -Komponente des elektrischen Feldes der TM-Wellen.
Diskutiere die
Dispersionsrelation
der TM-Wellen.
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7.15 Antwort zu H4
Die Indizes 
und 
können nicht den Wert Null annehmen, da dann die
Lösung identisch verschwindet. Die Dispersionsrelation
kann in der
Form
aufgelöst werden. Sie zeigt, dass zu jeder vorgegebenen Frequenz 
nur bestimmte, den Zahlenpaaren 
zugeordnete Werte der
Wellenzahl 
zulässig sind. Für jedes Paar mit 
existiert eine Grenzfrequenz
Die niedrigst mögliche Grenzfrequenz erhält man für 
Die
Funktion 
ist für verschiedene Kombinationen
(für 
) in Abbildung 0.1 angedeutet.
Abbildung 0.1:
Dispersionsrelation der TM-Moden
 |
Berechne und diskutiere die restlichen
Feldkomponenten.
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7.15 Antwort zu H5
Die elektrischen Feldkomponenten gewinnt man durch Differentiation von
Die magnetische Induktion der TM-Wellen kann man aus den Gleichungen
bestimmen. Die Gleichungen besagen, dass
ist. Die Felder stehen in jedem Punkt des Hohlleiters senkrecht
aufeinander (Abb. 0.2).
Außerdem ist 
für 
sowie
für 
.
Abbildung 0.2:
Momentaufnahme der magnetischen Induktion auf der Randfläche
 |
Das -Feld erfüllt die Randbedingung
die Normalenkomponente des -Feldes verschwindet auf der
Randkurve des Hohlleiters.
Gib die Komponenten des
Poyntingvektors
für die vorliegende Situation an.
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7.15 Antwort zu H6
Zur Diskussion des Energietransportes ist der Poyntingvektor
zu berechnen. Für TM-Wellen findet man im Detail
Zur expliziten Auswertung ist eine
reelle Form
erforderlich. Gib diese an.
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7.15 Antwort zu H7
Um eine reelle Darstellung zu gewinnen, muss man
ersetzen. Es ist dann
Berechne den
zeitlichen Mittelwert
des Poyntingvektors. Kommentiere.
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7.15 Antwort zu H8
Die zeitlichen Mittelwerte der 
- und 
-Komponenten
verschwindet, denn es ist (
)
Es findet im Mittel kein Energietransport in der Querrichtung des
Hohlleiters statt. Für die -Komponente des Poyntingvektors
ist das Zeitintegral
Der Energietransport in Richtung des (linearen)
Hohlleiters ist
Der Energiefluss variiert über dem Querschnitt.
Integriert man jedoch über den Querschnitt, so findet man
wegen
die Aussage
Die im Zeitmittel durch den Querschnitt strömende Energie ist konstant.
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