Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.16

1. Schreibe die Wellengleichungen   für die elektromagnetischen Potentiale mit dem Hertzschen Vektor um.
2. Betrachte die Kontinuitätsgleichung   und die Lorentzeichung.
3. Gib die Lösung der Differentialgleichung   für den Hertzschen Vektor an und stelle die elektromagnetischen Felder durch diesen Größe dar.
4. Bestimme den Hertzschen Vektor für den Quellterm   und bereite die Berechnung der Potentiale und Felder vor.
5. Berechne die Potentiale und Felder im Vakuum.  
6. Betrachte die Felder in der Fernzone.  
7. Bestimme den Poyntingvektor   für die lokalisierte Quelle in der Fernzone. Berechne die von der Quelle abgestrahlte Leistung pro Zeiteinheit.

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7.16 Antwort zu H1

Die inhomogenen Wellengleichungen für die Potentiale (Kap. 6.5 (6.68) und (6.69))

wobei der Operator hier durch

definiert ist, nehmen (vorausgesetzt die diversen Operatoren können bedenkenlos vertauscht werden) die Form an

Die Anzahl der zu diskutierenden Differentialgleichungen wird von 4 auf 3 reduziert.

   Betrachte die Kontinuitätsgleichung   und die Lorentzeichung.

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7.16 Antwort zu H2

Die Kontinuitätsgleichung und die Lorentzeichung sind infolge der Definition automatisch erfüllt

   Gib die Lösung der Differentialgleichung   für den Hertzschen Vektor an und stelle die elektromagnetischen Felder durch diesen Größe dar.

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7.16 Antwort zu H3

Die Lösung der Differentialgleichung für den Hertzschen Vektor ist (in völliger Analogie zur Lösung der Differentialgleichung für und ) im Fall von einfachen Randbedingungen

Anhand dieser Lösung kann man die elektromagnetischen Felder angeben

   Bestimme den Hertzschen Vektor für den Quellterm   und bereite die Berechnung der Potentiale und Felder vor.

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7.16 Antwort zu H4

Für eine bei lokalisierte Quelle der Form

lautet die Lösung der Differentialgleichung für den Hertzvektor

Um die Potentiale und die Feldstärken zu bestimmen, muss man die Divergenz und die Rotation dieser Vektorfunktion berechnen. Es ist z.B.

Entsprechendes gilt für die Ableitungen nach den anderen Komponenten. Das Ergebnis kann in der Form

zusammengefasst werden. Bei der Berechnung der Rotation tritt z.B.

auf. In diesem Fall kann man das Ergebnis in der Form

zusammenfassen. Insgesamt erhält man

   Berechne die Potentiale und Felder im Vakuum.  

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7.16 Antwort zu H5

Die Potentiale können direkt angegeben weden

Die Felder und kann man entweder direkt aus den Gleichungen

oder über die Potentiale berechnen. Für die Angabe des -Feldes benötigt man so z.B. die -Komponente

und die Zeitableitung von

Nimmt man die Ergebnisse für die weiteren Komponenten des Gradienten hinzu, so erhält man für das elektrische Feld in dem Fall

Für die magnetische Induktion (bzw. das Magnetfeld) erhält man mit

   Betrachte die Felder in der Fernzone.  

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7.16 Antwort zu H6

Das elektrische Feld

enthält Terme der Ordnung

In der Fernzone sind die Terme der Ordnung dominant.

Es treten nur Terme in der zweiten Ableitung von auf. Für das Magnetfeld

findet man Terme proportional zu und In der Fernzone ist

   Bestimme den Poyntingvektor   für die lokalisierte Quelle in der Fernzone. Berechne die von der Quelle abgestrahlte Leistung pro Zeiteinheit.

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7.16 Antwort zu H7

Der Poyntingvektor (siehe Kap. 6.4 (6.53)) in der Fernzone ist

Zur Auswertung des doppelten Vektorproduktes benutzt man

und findet

Mit kann man den Poyntingvektor in der Form

angeben. Die abgestrahlte Leistung (den Energieverlust pro Zeiteinheit) erhält man durch Integration über eine große Kugel zu

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