Lösung der Aufgabe 7.16


Die inhomogenen Wellengleichungen für die Potentiale (Kap. 6.5 (6.68) und (6.69))

wobei der Operator hier durch

definiert ist, ergeben (vorausgesetzt die diversen Operatoren können bedenkenlos vertauscht werden)

Die Anzahl der zu diskutierenden Differentialgleichungen wird von 4 auf 3 reduziert. Die Kontinuitätsgleichung und die Lorentzeichung sind infolge der Definition automatisch erfüllt

Die Lösung der Differentialgleichung für den Hertzschen Vektor ist (in völliger Analogie zur Lösung der Differentialgleichung für und ) im Fall von einfachen Randbedingungen

Anhand dieser Lösung kann man die elektromagnetischen Felder angeben

Für eine bei lokalisierte Quelle

lautet die Lösung der Differentialgleichung für den Hertzvektor

Die Potentiale (nun für ) können direkt angegeben werden

Für das elektrische Feld im Vakuum erhält man

die magnetische Induktion (bzw. das Magnetfeld) ist

Das elektrische Feld enthält Terme der Ordnung

In der Fernzone sind die Terme der Ordnung dominant.

Für das Magnetfeld

findet man Terme proportional zu und In der Fernzone ist somit

Der Poyntingvektor (siehe Kap. 6.4 (6.53)) in der Fernzone kann in einigen Schritten berechnet werden

Mit kann man den Poyntingvektor in der Form

angeben. Die abgestrahlte Leistung (den Energieverlust pro Zeiteinheit) erhält man durch Integration über eine große Kugel zu

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