Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.2

1. Welche Lösungsstrategie   schlägst Du vor?
2. Gib die dazu benötigte Darstellung an. Wie sieht sie für die Eingangsspannung   aus?
3. Benutze das Resultat von Aufg. 7.1 und gib die benötigte Darstellung der Spannung an dem Widerstand   an.
4. Wie wertet man die Spektraldarstellung der Spannung   aus?
5. Bei der Auswertung sind drei Fälle zu unterscheiden. Das Resultat von Fall (1)   ist?
6. Gib das Resultat für Fall (2)   an.
7. Jetzt ist Fall (3)   an der Reihe.
8. Dein Kommentar zu der Lösung   in drei Stücken.
9. Diskutiere die vollständige Lösung   und implementiere die angegebenen Anfangsbedingungen.
10. Überprüfe das Ergebnis für .  

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7.2 Antwort zu H1

Man greift auf die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

aus Aufg. 7.1 zurück. Die Eingangsspannung der vorliegenden Aufgabe kann mit Hilfe der Fourieranalyse mit der harmonischen Eingangsspannung verknüpft werden. Infolge der Linearität der Differentialgleichung gilt dies auch für die Lösung des vorliegenden Problems.

   Gib die dazu benötigte Darstellung an. Wie sieht sie für die Eingangsspannung   aus?

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7.2 Antwort zu H2

Die zur Umsetzung der Strategie benötigten Aussagen sind: Wird eine Funktion in der Form

dargestellt, so ist die Spektralfunktion durch

definiert.

Die Spektralfunktion des rechteckigen Spannungsstoßes

ist somit

   Benutze das Resultat von Aufg. 7.1 und gib die benötigte Darstellung der Spannung an dem Widerstand   an.

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7.2 Antwort zu H3

Die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung des Problems 7.1

ist

Infolge der Linearität dieser Relation folgt für die Spektralfunktion der Funktion die durch die Rechteckspannung erzeugt wird,

und somit

   Wie wertet man die Spektraldarstellung der Spannung   aus?

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7.2 Antwort zu H4

Zur Berechnung des Integrals

ergänzt man das Integral über die reelle Achse durch den (verschwindenden) Beitrag von geeigneten (unendlich großen) Halbkreisen zu einem Konturintegral (siehe Math. Kap. 2.3 und Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Konturintegrationen zur Berechnung von

Man kann dann die Cauchyformeln

für komplexe Funktionen die innerhalb der Kontur regulär sind, benutzen. Man muss dabei die Fälle

unterscheiden.

   Das Resultat von Fall (1)   ist?

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7.2 Antwort zu H5

Ist so gehen die Funktionen und gegen Null, wenn den unendlich fernen Punkten der unteren Halbebene entspricht. Hat die Form so folgt z.B.

In diesem Fall muss man das Integral durch einen Halbkreis in der unteren Halbebene ergänzen. Da die Polstelle (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Konturintegration

nicht eingeschlossen ist, kommt die Cauchyformel zur Anwendung und es ist

   Gib das Resultat für Fall (2)   an.

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7.2 Antwort zu H6

Für den Fall geht die Funktion gegen Null, wenn ist. geht gegen Null, wenn ist. Dies bedeutet, dass man für den ersten Term in

das Integral entlang der reellen Achse durch einen Halbkreis in der oberen Halbebene zu einem Konturintegral ergänzen kann, das zweite Integral durch eine Halbkreis in der unteren Halbebene (Abb. 0.3)

Abbildung 0.3: Konturintegration (zwei Terme)

Das zweite Integral trägt somit nicht bei und man erhält gemäß der Cauchyformel für das erste Integral

   Jetzt ist Fall (3)   an der Reihe.

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7.2 Antwort zu H7

Ist so kann man beide Integrale durch einen Halbkreis in der oberen Halbebene ergänzen. Es ist dann

   Dein Kommentar zu der Lösung   in drei Stücken.

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7.2 Antwort zu H8

Die in drei Stücken definierte Funktion stellt die gesuchte spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung dar. Infolge des nichtanalytischen Charakters der anregenden Spannung ist die Funktion nicht stetig. Sie kann folgendermaßen charakterisiert werden: Zu dem Zeitpunkt springt die Funktion von dem Wert Null auf den Wert In dem Zeitintervall klingt sie exponentiell bis auf den Wert ab. Zu dem Zeitpunkt hat sie den Wert (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung für

Sie ist also um den Wert gesprungen. Für Zeiten mit nähert sich die Funktion (essentiell exponential) dem Wert Null.

   Animation

Das Verhalten dieser Funktion wird durch das Produkt von Widerstand und Kapazität bestimmt. Je kleiner ist, desto stärker ist der Abfall in dem Intervall als auch für .

   Diskutiere die vollständige Lösung   und implementiere die angegebenen Anfangsbedingungen.

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7.2 Antwort zu H9

Die vollständige Lösung des Problems ist

Die inhomogene Lösung ist die oben gewonnene Funktion, der zweite Term ist die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung. Verschiedene Anfangsbedingungen ergeben verschiedene Zeitabläufe. So erhält man z.B. für

also die oben diskutierte spezielle Lösung. Für findet man hingegen

und

Die Funktion springt zu dem Zeitpunkt von Null auf den Wert (Abb. 0.6) und relaxiert dann exponentiell gegen den Wert Null.

Abbildung 0.6: : Resultat mit vorgegebener Anfangsbedingung

   Überprüfe das Ergebnis für .  

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7.2 Antwort zu H10

Die Ableitung der Funktion in den Intervallen und ist

Es ist deswegen in diesen Intervallen

Die Berechnung der Ableitung an den Sprungstellen (mit den Werten ) ist nicht ratsam.

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