Lösung der Aufgabe 7.2


Die Spektralfunktion des rechteckigen Spannungsstoßes

ist

Da die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

linear von der anregenden harmonischen Spannung abhängt

ist die Spektralfunktion der Funktion die durch die Rechteckspannung erzeugt wird, durch

die Funktion selbst somit durch

gegeben. Zur Berechnung dieses Integrals ergänzt man das Integral über die reelle Achse durch den (verschwindenden) Beitrag von geeigneten (unendlich großen) Halbkreisen zu einem Konturintegral und benutzt die Cauchyformeln. Die Ergebnisse sind:

• Ist so erhält man
  
  
  
  

• Für den Fall trägt das zweite Integral nicht bei. Für das erste Integral ergibt die Cauchyformel
  
  
  
  
  
  
  

• Ist so kann man beide Integrale durch einen Halbkreis in der oberen Halbebene ergänzen. Es ist dann
  
  
  
  
  
  
  

Die in drei Stücken definierte Funktion stellt die gesuchte spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung dar. Infolge des nichtanalytischen Charakters der anregenden Spannung ist die Funktion nicht stetig. Sie kann folgendermaßen charakterisiert werden: Zu dem Zeitpunkt springt die Funktion von dem Wert Null auf den Wert In dem Zeitintervall klingt sie exponentiell bis auf den Wert ab. Zu dem Zeitpunkt hat sie den Wert (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung für

Sie ist also um den Wert gesprungen. Für Zeiten mit nähert sich die Funktion (essentiell exponential) dem Wert Null. Das Verhaltens dieser Funktion wird durch das Produkt von Widerstand und Kapazität bestimmt. Je kleiner ist, desto stärker ist der Abfall in dem Intervall als auch für Die Sprünge entsprechen dem scharfen Anstieg und Abfall des Rechteckimpulses. Die vollständige Lösung des Problems ist

Verschiedene Anfangsbedingungen ergeben verschiedene Zeitabläufe. So erhält man z.B. für

also die oben diskutierte spezielle Lösung. Für findet man hingegen

und

Die Ableitung der Funktion in den Intervallen und ist

Es ist deswegen in diesen Intervallen

Die Berechnung der Ableitung an den Sprungstellen (mit den Werten ) ist nicht ratsam.

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