Lösung der Aufgabe 7.20


Ist der innere Zylinder auf dem Potential Null, der äußere auf dem Potential , so gilt für den Zylinderkondensator

Das entsprechende elektrische Feld ist

Die Bewegungsgleichung in einer Zylinderebene sind

und

Aus dem Flächensatz folgt mit den Anfangsbedingungen

Die Forderung, dass sich der Radius nicht ändert, führt auf

bzw.

Auflösung ergibt die Bedingung: Man wähle die Kondensatorspannung so, dass

gilt. Lässt man kleine Abweichungen von dem Sollradius

und von der Winkelgeschwindigkeit

zu, so folgt aus dem Flächensatz bei Beschränkung auf Abweichungen in erster Ordnung

Fordert man, dass der Flächensatz unverändert bestehen bleibt, so folgt

Die radiale Bewegungsgleichung ergibt in der gleichen Näherung

Setzt man hier ein, sortiert und benutzt die Sollkreisbedingung, so folgt die Oszillatorgleichung

Mit der Anfangsbedingung lautet die Lösung

Zur Bestimmung der verbleibenden Integrationskonstanten benutzt man

Die Amplitude der radialen Abweichung ist durch die Anfangsgeschwindigkeit in Radialrichtung gegeben. Unabhängig von der (kleinen) Anfangsgeschwindigkeit gilt für die kleine Schwingung um den Sollkreis

Daraus folgt für den Fokussierungswinkel

Im Rahmen der linearen Näherung (bei nicht zu großen Abweichungen der anfänglichen Radialgeschwindigkeit von dem Wert Null) muss der Fokussierungssektor einen Winkel von haben.

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