Lösung der Aufgabe 7.21


Die Bewegungsgleichungen eines Elektrons in einem elektromagnetischen Feld

lauten in Zylinderkoordinaten

Das Elektron soll auf einer Kreisbahn beschleunigt werden. Dafür ist die Komponente zuständig. Die Komponenten und sollten nicht auftreten, da sie das Elektron aus der Kreisbahn entfernen würden. Infolge der Zylindersymmetrie muss sein. Die restlichen Komponenten der magnetischen Induktion wird man so einrichten, dass die Stabilität der Bahnebene (z.B. ) bedingt und die erwünschte Beschleunigungsspannung erzeugt. Damit Elektronen, die in die Ebene mit eingeschossen werden, in dieser Ebene bleiben, muss gelten. Mit dieser Forderung entfällt die Bewegungsgleichung für die -Komponente. Das Bewegungsproblem wird auf auf ein zweidimensionales Problem reduziert. Falls die Elektronen auf einem Sollkreis mit Radius bleiben sollen, müssen und gleich Null sein. Bringt man diese Aussagen in die Bewegungsgleichungen ein, so verbleiben die Gleichungen

zur Diskussion der Stabilitätsbedingung. Das elektrische Ringfeld hängt über das Induktionsgesetz mit der Komponente der magnetischen Induktion zusammen. Wertet man das Induktionsgesetz unter den Annahmen

• Das elektrische Feld ist entlang eines Kreises mit Radius konstant.
• Infolge der Symmetrie hängt die Komponente der magnetischen Induktion nicht von der Winkelvariablen ab.

aus, so findet man für die Komponente des elektrischen Feldes

wobei der magnetische Fluss durch

gegeben ist. Die verbleibenden Bewegungsgleichungen

ergeben bei Elimination der Winkelvariablen, die Bedingung

die das magnetische Führungfeld erfüllen muss. Für eine homogene Feldkomponente ist dies nicht möglich. Ein Feld der Form

erfüllt diese Bedingung

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