Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.22

1. Übernehme die notwendigen Resultate   für die - und -Felder sowie den Poyntingvektor aus Aufg. 7.16.
2. Gib das Dipolmoment   der rotierenden Ladung an und berechne (andeutungsweise) die Felder in der Fernzone.
3. Berechne den Poyntingvektor   und dessen Zeitmittel.
4. Berechne die gesamte pro Zeiteinheit abgestrahlte Leistung.  
5. Berechne die Energie   des Elektrons auf einer Kreisbahn im Feld des Protons (Ladung ).
6. Gib den Energieverlust   an und berechne die damit verbundene Änderung des Bahnradius.
7. Welche Zeit   benötigt das Elektron, um von der Bohrschen Bahn zu dem Kern zu gelangen?
8. Welche Polarisation   der Strahlung beobachtet man als Funktion des Polarwinkels?

Werkzeuge

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7.22 Antwort zu H1

Gemäß Aufg. 7.16 gelten für einen Sender mit dem Dipolmoment in der Fernzone die Aussagen

Das Ergebnis für das -Feld kann unter Benutzung von

in die Form

gebracht werden. Der Poyntingvektor

ist in der Fernzone

   Gib das Dipolmoment   der rotierenden Ladung an und berechne (andeutungsweise) die Felder in der Fernzone.

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7.22 Antwort zu H2

Das Dipolmoment einer gleichförmig in der - Ebene rotierenden Punktladung ist

Der Vektor wird in kartesische Komponenten zerlegt, aber in Kugelkoordinaten dargestellt

Für das Vektorprodukt findet man

und somit für die magnetische Induktion

Zur Berechnung des elektrischen Feldes benutzt man am besten die Form

Das längliche Resultat soll aber nicht aufgeführt werden. Beachte: Infolge der vorliegenden Zylindersymmetrie sind die kompakteren Resultate aus Aufg. 7.17 (für Kugelsymmetrie) nicht nutzbar.

   Berechne den Poyntingvektor   und dessen Zeitmittel.

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7.22 Antwort zu H3

Betrachtet man noch einmal das Vektorprodukt

so stellt man fest, dass das Betragsquadrat die Terme (Zeitfaktoren)

enthält. Für die Berechnung des Zeitmittels benötigt man somit

Das Zeitmittel von

ergibt für den zeitgemittelten Poyntingvektor

   Berechne die gesamte pro Zeiteinheit abgestrahlte Leistung.  

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7.22 Antwort zu H4

Die durch eine Kugelfläche mit dem Radius abgestrahlte Leistung ist

   Berechne die Energie   des Elektrons auf einer Kreisbahn im Feld des Protons (Ladung ).

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7.22 Antwort zu H5

Bewegt sich die Ladung unter dem Einfluss einer Punktladung auf einem Kreis mit Radius , so gilt für die Energie

Die Bedingung für die Bewegung auf einer Kreisbahn (die Zentrifugalkraft und die Coulombkraft sind dem Betrag nach gleich groß)

erlaubt die Elimination von und liefert

   Gib den Energieverlust   an und berechne die damit verbundene Änderung des Bahnradius.

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7.22 Antwort zu H6

Der Energieverlust ist gleich der abgestrahlten Leistung

Anhand dieser Aussage kann man die aus der Abstrahlung resultierende Veränderung des Radius mit der Zeit berechnen. Die Differentialgleichung (ersetze )

liefert per Integration die Aussage (Anfangszeit )

   Welche Zeit   benötigt das Elektron, um von der Bohrschen Bahn zu dem Kern zu gelangen?

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7.22 Antwort zu H7

In der Anwendung auf das Wasserstoffatom mit

und

für den Radius der Bohrschen Bahn, findet man, dass es

dauert, bis das Elektron auf das Proton () trifft. Das klassische Wasserstoffatom existiert nur ca. !

   Welche Polarisation   der Strahlung beobachtet man als Funktion des Polarwinkels?

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7.22 Antwort zu H8

Die Polarisation der Strahlung kann entweder durch Betrachtung des -Feldes oder des -Feldes erkannt werden. Da das -Feld proportional zu

ist, kann man die folgenden Beobachtungen machen: Bei Beobachtung in der - Ebene (charakterisiert durch ) findet man

Die Strahlung in dieser Richtung ist linear polarisiert. Bei Beobachtung in der -Richtung (der Beobachter sieht die Bahn der Ladung in Aufsicht, ) ist

Die Strahlung ist zirkular polarisiert. Für alle anderen Beobachtungsrichtungen ist die Strahlung elliptisch polarisiert.

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