Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.23
  1. Notiere die (zweidimensionalen) Bewegungsgleichungen   für das Elektron in kartesischer Zerlegung.
  2. Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 1:   Bestimme die Eigenfrequenzen des Elektrons. Kommentiere.
  3. Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 2:   Bestimme die Eigenmoden des Elektrons.
  4. Diskutiere die Lösung(en).  


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7.23 Antwort zu H1


Die Bewegungsgleichungen für das Elektron


lauten in kartesischer Zerlegung





   Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 1:   Bestimme die Eigenfrequenzen des Elektrons. Kommentiere.


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7.23 Antwort zu H2


Zur Diskussion der gekoppelten Bewegungsgleichungen der - und -Komponenten macht man den Ansatz


und findet ein algebraisches Gleichungssystem für und




Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, falls die Determinante der Koeffizienten verschwindet


Die Lösung dieser quadratischen Gleichung in ist



Nebenrechnung
Ist das Feld schwach genug, ist also so kann man näherungsweise schreiben


bzw. in der Ordnung


Für die Bewegung in der - Ebene gibt es zwei Schwingungsmoden, deren Frequenzen um verschoben sind.

   Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 2:   Bestimme die Eigenmoden des Elektrons.


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7.23 Antwort zu H3


Für die Mode mit ergibt sich für die (komplexen) Amplituden


bzw. in der Ordnung


Entsprechend findet man für die Mode mit


Die reellen Lösungen sind dann

   Diskutiere die Lösung(en).  


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7.23 Antwort zu H4


Bildet man für die Lösungen




die Kombination , so findet man


Das Elektron bewegt sich auf Kreisen. Da keine Anfangsbedingungen vorgegeben sind, kann man für die weitere Diskussion eine einfache Situation annehmen, z.B.


Der Anfangspunkt der Bewegung ist bzw. . Andere Annahmen führen auf ähnliche Schlussfolgerungen. Mit dieser Annahme stellt die -Lösung eine Bewegung auf dem Kreis gegen den Uhrzeigersinn dar, die -Lösung eine Bewegung im Uhrzeigersinn. Bezüglich der Abstrahlung des Elektrons kann man auf der Basis dieser Ergebnisse die Bemerkung machen: Ist das Magnetfeld abgeschaltet, so würde aus klassischer Sicht das zirkulierende Elektron elektromagnetische Strahlung einer Frequenz abstrahlen. Wird das (schwache) Magnetfeld zugeschaltet, so findet je nach Mode eine Abstrahlung mit verringerter Frequenz (`rotverschoben`) bzw. mit erhöhter Frequenz (`blauverschoben`) statt. Infolge der unterschiedlichen Bewegungsrichtung der beiden Moden würde man (vergleiche Aufg. 7.22) bei Beobachtung der Strahlung in der Richtung des Magnetfeldes links zirkular bzw. rechts zirkular polarisierte Strahlung beobachten. Diese Aussage kann mit der Lösung von Aufg. 7.22 explizit überprüft werden.




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