, 
und
.
.)
).
).
.
, und
.
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.
Werkzeuge
|
, und
)
in dem Intervall 
in der Form
|
Gib den Ausdruck für die Berechnung der
Spannung
an dem Widerstand an. (Benutze zweckmäßigerweise eine Abkürzung
wie .)
Was muss man zur Berechnung der Spannung in den
verschiedenen Zeitintervallen
beachten?
. Gesucht ist das Integral über die
reelle Achse. Um dieses zu bestimmen, ist die Kontur 
so zu wählen,
dass der große Halbkreis keinen Beitrag liefert.
Diese Wahl wird durch die in 
enthaltene Exponentialfunktion
bestimmt. Hat man die Kontur festgelegt, so ist der Beitrag des kleinen
Halbkreises und das Integral über die Kontur zu berechnen.
Berechne die Spannung an dem Widerstand in dem aktiven, dem
zweiten Zeitintervall
().
mit
, so strebt 
gegen Null, falls
mit
ist und
geht.
Das Integral entlang der reellen Achse ist also durch einen großen
Halbkreis in der oberen Halbebene zu schließen (siehe
Abb. 0.1). Das Integral über den großen Halbkreis 
trägt nicht bei.
die den Pol bei 
umgeht, ergibt nach der Integralformel von Cauchy
kann mit dem Ansatz
explizit ausgerechnet werden. Es ist dann
, so dass man den
Grenzübergang und die Integration vertauschen kann
gegen Null, falls
mit
und
ist. Spart man hier den Pol bei 
wie in der Abb. 0.2
ergibt,
da nun die Integrationsgrenzen 
und 
sind,
in dem Intervall
Berechne die Spannung an dem Widerstand für das
erste Zeitintervall
().
muss man die Integration entlang der reellen Achse sowohl
für 
als auch für 
durch einen Halbkreis in der unteren
Halbebene ergänzen (Abb. 0.3). Das Integral über die Kontur
kompensieren sich,
da im der Term 
und in der Term 
auftritt und für
beide Funktionen der Ursprung in der gleichen Weise umgangen wird. Insgesamt
erhält man also (wie eigentlich zu erwarten)
Bestimme die Spannung an dem Widerstand in dem
letzten Zeitintervall
.
ergibt sich die folgende Situation: Für beide Anteile ist die
Kontur 
zuständig (Abb. 0.4),
abermals kompensieren. Es
bleibt die Aussage
beiträgt
für die Spannung an dem Widerstand
Diskutiere das
Gesamtresultat und
die Spezialfälle
in den drei Intervallen ist in den Abbildungen 0.5
bis 0.8 dargestellt.
Aufgetragen ist (in beliebigen Einheiten) als Funktion von 
Das Zeitintervall wurde zu 
gewählt.
Das Verhalten der Funktion für
und
in den ersten zwei Abbildungen ähnelt dem Resultat der
Aufg. 7.2, wobei jedoch die jeweiligen Sprünge durch die Größe
der jeweiligen Potentialwerte bestimmt sind.
erhält
man noch einmal das Resultat der Aufg. 7.2.
Ist 
, so
unterbleibt der erste Sprung (Abb. 0.7), man findet einen
stetigen Anstieg des Potentials 
mit dem Sägezahn
bis zu dem Zeitpunkt 
. Es folgt dann der Sprung.
Ist 
, so findet
nach dem Sprung bei 
kein weiterer Sprung statt,
