Lösung der Aufgabe 7.4


Die Spannung an dem Kondensator ist Gemäß der Relation gilt für den über den Kondensator fließenden Wechselstrom

Für die Spannung an dem Ohmschen Widerstand folgt aus dem Ohmschen Gesetz

Die Spannung an der Spule ( infolge der Erdung) wird durch die Selbstinduktion reduziert, so dass nach dem Ohmschen Gesetz hier

gilt. Kombination dieser drei Aussagen bei Elimination der Potentialwerte und ergibt eine Differentialgleichung für den in dem Kreis fließenden Wechselstrom

wobei der gesamte Ohmsche Widerstand in dem Stromkreis ist. Um die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung formal zu lösen, benutzt man die Darstellung der Eingangsspannung

und des Stromes

durch Fourierintegrale. Damit findet man die algebraische Gleichung

die einen Zusammenhang zwischen den zwei Spektralfunktionen und darstellt. Ist so findet man als Relation zwischen dem Strom und der Eingangsspannung

Aus dieser Relation kann man den komplexen Wechselstromwiderstand ablesen

mit dem Betrag und der Phase

und

Für den Strom erhält man

Der Strom bleibt hinter der Spannung um den Winkel zurück. Es tritt keine Phasenverschiebung auf, wenn

ist. Der Wechselstromwiderstand entspricht für diese Frequenz dem (gesamten) Ohmschen Widerstand in dem Stromkreis. Die Potentialwerte an den Punkten vor und nach dem Widerstand hängen mit der Eingangsspannung in der folgenden Weise

zusammen. Die Spannung an dem Widerstand ist somit

Auch dieses Resultat kann man in der Form

mit

angeben. Die Amplitude der Spannung an dem Widerstand ist proportional zu der Eingangsspannung. Der Proportionalitätsfaktor ist durch das Verhältnis des Widerstandes zu dem Wechselstromwiderstand gegeben. Die Tatsache, dass die Phasenverschiebungen von und dem Strom übereinstimmen, entspricht der anfangs gemachten Aussage

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