Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.5

1. Gib die Bewegungsgleichung   in allgemeiner Form an.
2. Bestimme das Drehmoment aufgrund des Spulenstroms.  
3. Gib das Drehmoment aufgrund des induzierten Stroms   an.
4. Bestimme mit dem Faradaygesetz   den induzierten Strom. Gib das zugehörige Drehmoment vollständig an.
5. Betrachte die Bewegungsgleichung im Grenzfall   kleiner Auslenkungen.
6. Gib die Lösung der vereinfachten Differentialgleichung   an. Diskutiere die Lösung unter dem Aspekt einer optimalen Arbeitsweise des Galvanometers.
7. Wie kann man die optimale Arbeitsweise   realisieren?
8. Diskutiere die praktische Realisierung   des Galvanometers (Spiegel und Eichung).

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7.5 Antwort zu H1

Die Bewegungsgleichung hat die Form

Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung

Summe der angreifenden Drehmomente.

Bezeichnet man den Drehwinkel der Spule bezüglich der -Achse mit (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Der Drehwinkel

so lautet die Bewegungsgleichung

wobei wie unten bestätigt wird, die Drehmomente durch das -Feld () und den Induktionseffekt () in Richtung der Drehachse gerichtet sind. Das Vorzeichen des Drehmoments aufgrund der Torsion zeigt an, dass dieses Moment versucht die Ausgangslage wieder herzustellen.

   Bestimme das Drehmoment aufgrund des Spulenstroms.  

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7.5 Antwort zu H2

Das Feld greift an dem magnetischen Moment der Spule, das von dem Strom erzeugt wird, an. Das magnetische Moment der Spule ist (siehe Kap. 5.3)

wobei die einfache Spulenfläche ( ist die effektive Gesamtfläche) und die Normalenrichtung darstellt. Das entsprechende Drehmoment ist (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Der Drehwinkel

   Gib das Drehmoment aufgrund des induzierten Stroms   an.

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7.5 Antwort zu H3

Durch die Drehung in dem Magnetfeld wird ein zusätzlicher Strom induziert. Das Drehmoment, das der induzierte Strom erzeugt, ist entsprechend

wobei das magnetische Moment des Induktionsstroms

die gleiche Form hat wie das Moment des primären Stroms.

   Bestimme mit dem Faradaygesetz   den induzierten Strom. Gib das zugehörige Drehmoment vollständig an.

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7.5 Antwort zu H4

Der induzierte Strom kann über das Faradaygesetz bestimmt werden

Auflösung ergibt

wobei der gesamte Widerstand in dem Spulenstromkreis ist. Für das Drehmoment durch den induzierten Strom findet man also

Das Vorzeichen entspricht der Aussage der Lenzschen Regel. Es bedingt, dass das Drehmoment in der gleichen Richtung wirkt wie das rücktreibende Drehmoment.

   Betrachte die Bewegungsgleichung im Grenzfall   kleiner Auslenkungen.

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7.5 Antwort zu H5

Die Bewegungsgleichung in der Form

zeigt, das der anfängliche Strom die Auslenkung, der Torsionsfaden eine (harmonische) Rückstellung und die Induktion eine Dämpfung bewirkt. Für kleine Auslenkungen kann man durch nähern und erhält

eine inhomogene harmonische Schwingungsgleichung mit den Parametern

der die elektromagnetische Dämpfung beschreibt,

der Eigenfrequenz des Systems und dem `treibenden Term` mit dem Proportionalitätsfaktor (des stationären Stromes)

   Gib die Lösung der vereinfachten Differentialgleichung   an. Diskutiere die Lösung unter dem Aspekt einer optimalen Arbeitsweise des Galvanometers.

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7.5 Antwort zu H6

Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung hat die Form

wobei als Lösung der inhomogenen Differentialgleichung die konstante Lösung

dienen kann. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung stellt eine gedämpfte Schwingung (siehe Band 1, Kap. 4.2.2) dar. Da diese mit der Zeit ausklingt, gilt

Es wird sich eine Torsion der Spule einstellen, die proportional zu dem Strom in der Spule ist. Damit sich diese Lösung möglichst schnell einstellt, sollte der aperiodische Grenzfall der Lösung der Schwingungsgleichung vorliegen.

   Wie kann man die optimale Arbeitsweise   realisieren?

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7.5 Antwort zu H7

Der Ansatz

führt auf die charakteristische Gleichung

mit der Lösung

In dem aperiodischen Grenzfall ist Löst man diese Bedingung nach dem Widerstand auf, so erhält man

Wird dieser Widerstand durch Wahl des Widerstandes eingestellt, so stellt sich der Ausschlag in kürzester Zeit ein.

   Diskutiere die praktische Realisierung   des Galvanometers (Spiegel und Eichung).

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7.5 Antwort zu H8

Zur Messung des Ausschlages bringt man auf der Spule einen Spiegel an (der das Trägheitsmoment mit bestimmt) und misst den Ausschlag eines an dem Spiegel reflektierten Lichtstrahls auf einem `Schirm`, der sich in der Entfernung von dem Spiegel befindet (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Spiegelanordnung

Es ist dann

bzw.

Bei vorgegebenen Galvanometergrößen und ist der Ausschlag proportional zu der Stromstärke. Das Galvanometer kann anhand der Proportionalität geeicht werden.

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