Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.6

1. Notiere die für das Problem zuständigen Maxwellgleichungen.  
2. Führe das Vektorpotential   ein und werte die Maxwellgleichungen aus.
3. Benutze die Lösung der Bestimmungsgleichung   für das Vektorpotential zur Diskussion der Relationen zwischen dem - und -Feld.
4. Diskutiere die Energiegrößen.  
5. Wiederhole die Untersuchung der Felder für den Fall der Superposition.  
6. Analysiere die Superposition im Detail bezüglich der Polarisation.  

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7.6 Antwort zu H1

In einem Dielektrikum mit und einfacher Materialgleichung lauten die Maxwellgleichungen

   Führe das Vektorpotential   ein und werte die Maxwellgleichungen aus.

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7.6 Antwort zu H2

Mit der Einführung des Vektorpotentials

ergibt das Induktionsgesetz

das Coulombgesetz entspricht

Setzt man diese Aussagen in das Ampèrsche Gesetz ein, so erhält man eine Wellengleichung für das Vektorpotential

vorausgesetzt Damit sind beide Felder durch dargestellt und eine Gleichung zur Bestimmung von gewonnen.

   Benutze die Lösung der Bestimmungsgleichung   für das Vektorpotential zur Diskussion der Relationen zwischen dem - und -Feld.

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7.6 Antwort zu H3

Eine reelle Form der Lösung der Wellengleichung ist z.B.

mit wobei die Phase durch geeignete Wahl der Anfangszeit unterdrückt werden kann. Man berechnet dann

Man erkennt in der geschweiften Klammer das Vektorprodukt ( ) und fasst

zusammen. Das elektrische Feld ist

Die zwei Felder haben die gleiche Zeit- und Ortsabhängigkeit, die Amplitudenvektoren stehen senkrecht aufeinander. Die verbleibende Divergenzbeziehung

liefert

Damit hat man die Aussagen: Das -Feld ist parallel zu dem -Feld. Der Wellenzahlvektor steht senkrecht auf dem Vektor des -Feldes. Das -Feld steht senkrecht auf den Vektoren und Die drei Vektoren , und bilden ein rechtshändiges Koordinatendreibein (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Die drei Vektoren , und

Dies zeigt man explizit durch Elimination von aus den Darstellungen von bzw. . Beginnt man mit , so findet man direkt

Das Vektorprodukt von und liefert andererseits

   Diskutiere die Energiegrößen.  

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7.6 Antwort zu H4

Die Energiedichte der ebenen Welle ist

Der elektrische Anteil und der magnetische Anteil sind gleich groß. Der Poyntingvektor ist

wobei die Relation benutzt wurde. Der Poyntingvektor kann auch in der Form

geschrieben werden. Man erkennt den `Energietransport`.

   Wiederhole die Untersuchung der Felder für den Fall der Superposition.  

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7.6 Antwort zu H5

Für den Ansatz

liefert die Bedingung

die Aussage

Diese Relation kann nur erfüllt sein, falls

ist. Beide Amplitudenvektoren des superponierten Vektorpotentials stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung. Die elektromagnetischen Felder, die durch das Vektorpotential dargestellt werden, sind

sowie

Für die beiden Felder gilt (natürlich immer noch) die Beziehung

   Analysiere die Superposition im Detail bezüglich der Polarisation.  

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7.6 Antwort zu H6

Zur genaueren Betrachtung des Vektorpotentials bildet man die Vektorprodukte

Um die Polarisation zu diskutieren, bildet man die Kombination

Setzt man nun (wähle die -Richtung als Ausbreitungsrichtung)

so folgt durch die Auswertung der Vektorprodukte

Im Allgemeinen beschreibt der Endpunkt des Vektors eine Ellipse, die schief in der - Ebene liegt (vergleiche Band 1, Kap. 2.2.1.1). Sind die Vektoren und kolinear, so ist In diesem Fall gilt

bzw.

Die superponierte Welle ist linear polarisiert. Sind die Vektoren und gleich lang und stehen sie senkrecht aufeinander, so ist und Die allgemeine Aussage reduziert sich auf

Die Welle ist zirkular polarisiert.

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