Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.7

1. Man kann sich auf die Betrachtung einer linear polarisierten   ebenen Welle beschränken. Warum?
2. Wähle ein Koordinatensystem und notiere die elektromagnetischen Felder   der ebenen Wellen in den drei Medien.
3. Welche Bedingungen gelten an den Grenzschichten   zwischen den Medien?
4. Notiere diese Bedingungen   im Detail.
5. Was folgt aus der Forderung nach der Abwesenheit   von Reflexion in Medium 1?
6. Werte die aus dieser Forderung folgende Bedingung   rechentechnisch aus.
7. Die Bedingung ergibt eine komplexe Gleichung. Trenne Real- und Imaginärteil.  
8. Diskutiere die Konsequenzen,   die den so gewonnenen Bedingungen entnommen werden können.

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7.7 Antwort zu H1

Bei senkrechtem Einfall ist in der Ebene der Grenzflächen keine Richtung ausgezeichnet. Man kann eine beliebig polarisierte ebene Welle aus zwei gleichberechtigten linear polarisierten superponieren.

   Wähle ein Koordinatensystem und notiere die elektromagnetischen Felder   der ebenen Wellen in den drei Medien.

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7.7 Antwort zu H2

In den Medien 1 und 2 gibt es eine einfallende und eine reflektierte ebene Welle. Bei senkrechtem Einfall und linearer Polarisation kann man mit der Koordinatenwahl gemäß Abb. 0.1 die elektromagnetischen Felder in der folgenden Form ansetzen (vergleiche Kap. 7.2.1)

Abbildung 0.1: Koordinatenwahl

• Medium 1, einfallende Welle:
  
  
  
  
  
  
  

• Medium 1, reflektierte Welle:
  
  
  
  
  
  
  

• Medium 2, einfallende Welle:
  
  
  
  
  
  
  

• Medium 2, reflektierte Welle:
  
  
  
  
  
  
  

• Medium 3, in dem dritten Medium existiert nur eine durchlaufende Welle
  
  
  
  
  
  
  

   Welche Bedingungen gelten an den Grenzschichten   zwischen den Medien?

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7.7 Antwort zu H3

An den Grenzschichten zwischen den Medien sind infolge der vorgelegten Geometrie nur Tangentialkomponenten der Felder vorhanden. Für diese gilt Stetigkeit der Komponenten des elektrischen Feldes als auch (wegen der Voraussetzung ) der Komponenten der magnetischen Induktion.

   Notiere diese Bedingungen   im Detail.

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7.7 Antwort zu H4

Diese Bedingungen führen auf die Aussagen

• Grenzschicht zwischen den Medien1 und 2 an der Stelle
  -Feld:
  
  
  
  
  -Feld:
  
  
  
  

• Grenzschicht zwischen den Medien 2 und 3 an der Stelle
  -Feld:
  
  
  
  
  -Feld:
  
  
  
  

   Was folgt aus der Forderung nach der Abwesenheit   von Reflexion in Medium 1?

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7.7 Antwort zu H5

Bringt man die Bedingung ein, dass in dem Medium 1 keine reflektierte Welle auftreten soll (), so stellen die vier Anschlussbedingungen ein homogenes lineares Gleichungssystem für die vier unbekannten Feldamplituden , , , dar. Die Bedingung für eine nicht triviale Lösung ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante. Man kann dann (analog zu Kap. 7.2.1) das Gleichungssystem nach etc. auflösen. Zum Mechanismus ist das folgende zu bemerken: In dem Medium 2 existiert eine reflektierte Welle (), die jedoch an der Grenzfläche zwischen den Medien 1 und 2 wieder reflektiert wird.

   Werte die aus dieser Forderung folgende Bedingung   rechentechnisch aus.

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7.7 Antwort zu H6

Die Determinante der Koeffizienten des linearen Gleichungssystems hat die Form

Zur Auswertung der Determinante entwickelt man am geschicktesten nach der ersten Spalte

und wertet die 3x3 Determinanten mit der Regel von Sarus aus.

Zusammenfassend erhält man

   Die Bedingung ergibt eine komplexe Gleichung. Trenne Real- und Imaginärteil.  

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7.7 Antwort zu H7

Die Bedingung

kann man in Real- und Imaginärteil aufspalten. Es ist

sowie

Benutzt man das Additionstheorem, so erhält man die Bedingungen

   Diskutiere die Konsequenzen,   die den so gewonnenen Bedingungen entnommen werden können.

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7.7 Antwort zu H8

Um die Gleichungen

zu sortieren,

• multipliziert man die erste Gleichung mit , die zweite mit und addiert, sowie
• die erste Gleichung mit , die zweite mit und addiert.

Das Ergebnis ist

Sind die Materialien in den Medien 1 und 3 verschieden, so ist die erste Bedingung nur erfüllbar, wenn die Kosinusfunktionen den Wert Null hat. Diese Aussage legt die möglichen Werte für die Schichtdicke des Mediums 2 fest

oder wahlweise

(bei Benutzung von oder dem Brechungsgesetz In der zweite Bedingung ist dann . Durch diese Bedingung wird die Brechungszahl des zweiten Mediums festgelegt

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