Lösung der Aufgabe 7.8


Die ebene Wellenlösung der Maxwellgleichungen im Vakuum

und im Metall

(vergleiche Kap. 7.2.2) können durch ein Vektorpotential

dargestellt werden. Die Wellenzahl im Vakuum ist , die Wellenzahl in dem Metall ist komplex. Man erhält sie über das Induktionsgesetz

und das Ampèresche Gesetz, das zu der Differentialgleichung

führt. Hier erkennt man die komplexe Wellenzahl

bzw. den komplexen Brechungsindex

Mit der in Abbildung (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Reflexion und Brechung

angedeuteten Wahl des Koordinatensystems lautet der Ansatz für das Vektorpotential der einfallenden, reflektierten und der eindringenden Welle:

• Einfallende Welle:
  
  
  
  
  mit
  
  
  
  
  
  
  

• Reflektierte Welle:
  
  
  
  
  mit
  
  
  
  
  
  
  

• Eindringende Welle:
  
  
  
  
  mit
  
  
  
  
  
  
  

Die Forderung nach der Übereinstimmung der Phasen in der Grenzfläche ergibt

Dies entspricht dem Reflexionsgesetz

und dem Brechungsgesetz

Man kann das letzte Resultat benutzen, um eine Aussage zu zu gewinnen: Es ist

Für ist, ist es für viele Zwecke ausreichend, den Brechungsindex durch

zu nähern und wegen den Einfluss der Einfallsrichtung zu vernachlässigen. Man erhält dann für

Die eindringende Welle wird also durch das Vektorpotential

dargestellt. Offensichtlich ist die Lösung mit dem positiven Vorzeichen zuständig. Das Vektorpotential, und damit die elektromagnetische Welle klingt dann gemäß

ab. Diese Aussage entspricht dem Resultat für die in Kap. 7.2.2 diskutierte Eindringtiefe. Um den Reflexionskoeffizienten zu bestimmen, benutzt man die Transversalitätsbedingung des Vektorpotentials (das Coulombgesetz)

und die Stetigkeit der elektromagnetischen Felder bei . Für die gewählte Geometrie reicht die Forderung nach der Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung ( ) und der Tangentialkomponente(n) des elektrischen Feldes aus. Aus der Stetigkeit von und folgt die Stetigkeit von und in der Form

Aus der Transversalitätsbedingung folgt bei Benutzung von

die Relation

Benutzt man auf der linken Seite der Gleichung

die Aussage, das die - und die -Komponente der zwei Wellen durch

verknüpft sind, so kann man diese Gleichung mit Hilfe von

in der Form

sortieren. Zusammen mit der Gleichung für die Summe der zwei Amplituden im Medium 1 gewinnt man daraus die Relationen

die mit durch

genähert werden können. DerReflexionskoeffizient ist durch

definiert. Zur Auswertung benötigt man die Relationen

Damit erhält man (in der Näherung)

Da eine komplexe Größe ist

findet man für

Eine etwas durchsichtigere Form erhaält man durch Addition und Subtraktion von geeigneten Termen

Der dominante Term im Nenner ist so dass man letztlich in konsistenter Näherung

schreiben kann. Der Transmissionskoeffizient ist dann

Da ist, wird der Hauptteil der einfallenden elektromagnetischen Welle reflektiert. Der Anteil, der nicht reflektiert wird, dient letzlich der Erwärmung des Metallblocks.

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