Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.10

1. Stelle die Differentialgleichung der Bahn   für die vorgegebene Situation auf.
2. Gib die Bahngleichung   für an.
3. Diskutiere die Bahnkurven   für .
4. Diskutiere die Bahnkurven   für .

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8.10 Antwort zu H1

Hat die Zentralladung das gleiche Vorzeichen wie die Punktladung so kann man die Argumentation von Aufg. 8.8 bzw. 8.9 wie folgt modifizieren. Der Energiesatz lautet hier

Daraus gewinnt man den Ausdruck

für und letztlich wieder eine Differentialgleichung für die Bahn in der Form

mit

(wie zuvor) jedoch

Man stellt fest: Man kann die Resultate aus Aufg. 8.8 bzw. 8.9 mit der Ersetzung und übernehmen.

   Gib die Bahngleichung   für an.

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8.10 Antwort zu H2

Die Bahngleichung kann mit denselben Schritten wie in Aufgabe 8.8 oder durch Ersetzung von durch und durch in den Formeln in Aufg. 8.8 oder in Aufg. 8.9 gewonnen werden. So findet man für die Parameter der Bahngleichung

Anzumerken ist, dass die Aussagen über das Vorzeichen der Parameter und im Fall gilt und dass für angenommen wird, dass der Parameter auf die gleiche Weise wie zuvor bestimmt wurde . Es folgt dann

Der Winkel wird wie zuvor von einer Achse aus gemessen, die durch

charakterisiert ist. Für die Parameter der Bahngleichung kann man

notieren.

   Diskutiere die Bahnkurven   für .

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8.10 Antwort zu H3

Die Gesamtenergie ist positiv Unter der Voraussetzung folgt

Zum Beweis dieser Aussage beginnt man mit der Vermutung

und führt sie über

auf die Voraussetzung

zurück, da der Faktor ist. Die Bahn ist hyperbelähnlich mit Asymptoten für die Winkel

Die Abb. 0.1 zeigt eine Bahn für die Parameter und Im Vergleich zu einer normalen Hyperbel ist der Übergang zwischen den Asymptoten schärfer.

Abbildung 0.1: Bahnkurve für : Streubahn mit und

   Animation der Kurven

   Diskutiere die Bahnkurven   für .

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8.10 Antwort zu H4

Ist , so kann man zu den Parametern der Bahnkurve das folgende bemerken. Der Parameter wird negativ, so dass gesetzt werden muss. Es ist dann

Durch diese Ersetzung wird die Kosinusfunktion (wieder) in die hyperbolische Kosinusfunktion übergeführt. Für die weiteren Parameter gilt

Für die Bahngleichung erhält man somit das Resultat

In diesem Fall ist

Die Bahn ist ebenfalls hyperbelähnlich mit den Asymptotenwinkeln (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Bahnkurve für : Streukurve mit

   Animation der Kurven

Der Fall muss separat behandelt werden. Die Lösung

für das System und geht mit der Ersetzung

in

über. Wählt man den Parameter sodass ist, so folgt

Man erhält eine Bahn mit den Asymptoten

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