Lösung der Aufgabe 8.10


Hat die Zentralladung das gleiche Vorzeichen wie die Punktladung so kann man die Argumentation von Aufg. 8.8 wie folgt modifizieren. Der Energiesatz lautet hier

Daraus gewinnt man den Ausdruck

für und letztlich wieder eine Differentialgleichung für die Bahn in der Form

mit

(wie zuvor) jedoch

Man stellt fest: Man kann die Resultate aus Aufg. 8.8 mit der Ersetzung und übernehmen. Man findet für die Parameter der Bahngleichung im Fall

Es folgt dann

Der Winkel wird wie zuvor von einer Achse aus gemessen, die durch

charakterisiert ist. Für die Parameter der Bahngleichung kann man

notieren. Die Gesamtenergie ist positiv Unter der Voraussetzung folgt

Die Bahn ist hyperbelähnlich mit Asymptoten für die Winkel

(Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Bahnkurve für : Streukurve mit

Ist , so kann man zu den Parametern der Bahnkurve das folgende bemerken. Der Parameter wird negativ, so dass gesetzt werden muss. Es ist dann

Durch diese Ersetzung wird die Kosinusfunktion (wieder) in die hyperbolische Kosinusfunktion übergeführt. Für die weiteren Parameter gilt

Für die Bahngleichung erhält man somit das Resultat

In diesem Fall ist

Die Bahn ist ebenfalls hyperbelähnlich mit den Asymptotenwinkeln (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Bahnkurve für : Streukurve mit

Der Fall muss separat behandelt werden. Die Lösung

für das System und geht mit der Ersetzung

in

über. Wählt man den Parameter sodass ist, so folgt

Man erhält eine Bahn mit den Asymptoten

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