Lösung der Aufgabe 8.3


Aus den relativistischen Bewegungsgleichung

gewinnt man über

Erhaltungssätze für

• den Betrag des Dreierimpulses ,
• die Gesamtenergie und
• Das Betragsquadrat der Dreiergeschwindigkeit

Damit ist auch die relativisische Masse konstant. Für lauten die Bewegungsgleichungen

bzw.

Differentiation der Bewegungsgleichungen und wechselseitige Elimination führt somit auf zwei Differentialgleichungen vom Oszillatortyp

mit den allgemeinen Lösungen

Zwischen den Integrationskonstanten gelten die Relationen

Die Differentialgleichung für die -Komponente hat die Lösung

Mit den so gewonnenen Lösungen kann man die Aussage noch einmal explizit überprüfen. Die Position als Funktion der Zeit kann durch eine weitere Integration berechnet werden

Man findet

Die Projektion der Bahnkurve in die - Ebene ist

ein Kreis mit dem Radius

und dem Mittelpunkt

Infolge der linearen Änderung der -Koordinate mit der Zeit, ist die Bahnkurve selbst (wie im nichtrelativistischen Fall mit ) eine Schraubenlinie. Da ist, ist im relativistischen Bereich bei Vorgabe von

der Radius gegenüber dem nichtrelativistischen Fall um den Faktor vergrößert. Der Mittelpunkt befindet sich an der Stelle

Das entsprechende nichtrelativistische Ergebnis erhält man mit

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