Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.4

1. Wähle die Bezugssysteme und gib die Transformation   zwischen den Systemen an.
2. Notiere (in allgemeiner Form) die Feldkomponenten   aus der Sicht des stationären Beobachters.
3. Bereite die Überprüfung   der Maxwellgleichungen vor.
4. Notiere die Feldkomponenten im Innern   der bewegten Kugel.
5. Zeige, dass die Felder im Innern der Kugel aus der Sicht von   die Maxwellgleichungen erfüllen.
6. Notiere die Feldkomponenten im Außenbereich   und überprüfe die Maxwellgleichungen.
7. Diskutiere den Grenzfall der Galileitransformation.  

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8.4 Antwort zu H1

Die Bezugssysteme werden (Abb. 0.1) folgendermaßen gewählt:

Abbildung 0.1: Die Inertialsysteme

Das Zentrum der homogen geladenen Kugel markiert den Ursprung des Systems Dieses bewegt sich mit der Geschwindigkeit in der gemeinsamen -Richtung gegenüber dem System dem System des `stationären Beobachters` . Die Minkowskikoordinaten aus der Sicht von

und der Sicht von

werden durch die Lorentztransformation

verknüpft

Die geladene Kugel ruht in dem System und besitzt aus der Sicht dieses Systems das elektrische Feld (siehe z.B. Kap 1.3 (1.8))

Das elektromagnetische Feld aus der Sicht von wird durch die Transformation des Feldtensors berechnet

(die Inverse der Transformationsgleichung in Kap. 8.5.2).

   Notiere (in allgemeiner Form) die Feldkomponenten   aus der Sicht des stationären Beobachters.

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8.4 Antwort zu H2

In dem resultierenden Feldtensor

liest man die Feldkomponenten aus der Sicht von ab. Dabei ist eine Umschreibung der Koordinaten mit

vorzunehmen. Das elektrische Feld ist

mit

Die -Komponente des elektrischen Feldes für Punkte innerhalb der Kugel ist z.B.

Für die magnetische Induktion

gilt die Aussage

Sie hat keine Komponente in der Bewegungsrichtung.

   Bereite die Überprüfung   der Maxwellgleichungen vor.

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8.4 Antwort zu H3

Zur Überprüfung der Maxwellgleichungen im Vakuum

benötigt man noch die Viererstromdichte aus der Sicht von In dem System gilt

Für den transformierten Vierervektor findet man mit

die Viererstromdichte aus der Sicht des stationären Beobachters

Hier liest man ab, dass die Dichte in dem System durch und die Stromdichte (jeweils innerhalb der Kugel) durch

charakterisiert wird. Der Faktor beschreibt die Längenkontraktion der bewegten Kugel in der -Richtung .

   Notiere die Feldkomponenten im Innern   der bewegten Kugel.

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8.4 Antwort zu H4

Bei der weiteren Betrachtung muss man die Punkte im Innern der Kugel und Punkte außerhalb der Kugel unterscheiden. Im Innern

gilt für das elektrische Feld

mit

Der Faktor beschreibt in der Form die Längenkontraktion der bewegten Kugel. Die magnetische Induktion ist

   Zeige, dass die Felder im Innern der Kugel aus der Sicht von   die Maxwellgleichungen erfüllen.

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8.4 Antwort zu H5

Die zur Überprüfung der Maxwellgleichungen in Innern der Kugel benötigten Terme sind ( )

Die Maxwellgleichungen

sind trivialerweise erfüllt. Für die Quellgleichung des elektrischen Feldes findet man

Die Gesamtladung ist aus der Sicht der zwei Bezugssysteme gleich groß. Das erweiterte Ampèresche Gesetz

entspricht

Auch diese Maxwellgleichung ist erfüllt.

   Notiere die Feldkomponenten im Außenbereich   und überprüfe die Maxwellgleichungen.

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8.4 Antwort zu H6

Im Außenbereich sind die Komponenten der elektromagnetischen Felder

Für die Berechnung der benötigten Ableitungen benutzt man

Damit findet man

Da

ist, folgt

Die Quellgleichung sind direkt erfüllt. Für die Maxwellgleichungen mit den Zeitableitungen findet man

und

Auch diese Gleichungen sind explizit erfüllt.

   Diskutiere den Grenzfall der Galileitransformation.  

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8.4 Antwort zu H7

Um die Frage zu beantworten, inwieweit die Aussagen sich verändern, wenn man die Galilei- anstelle der Lorentztransformation benutzt, ist die Grenzwertbetrachtung mit

nicht der korrekte Weg. Man würde nur feststellen, dass alle vier Maxwellgleichungen (natürlich!) auch in diesem Grenzfall gültig sind. Benutzt man die Galileitransformation, so wird die Transformationsmatrix unsymmetrisch. Behält man die Minkowskischreibweise bei, so lautet die Matrix der Galileitransformation

Benutzt man diese Transformationsmatrix in

so erhält man kein magnetisches Feld in dem stationären System Diese Aussage ist offensichtlich nicht korrekt.

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