Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.6

1. Notiere die zuständige Bewegungsgleichung   und die Vorgaben.
2. Integriere die Bewegungsgleichung, führe den magnetische Fluss und den generalisierten Impuls   ein.
3. Ersetze in dem Resultat den Impuls durch die Energie.  
4. Wodurch wird die kinetische Energie   in der Endsituation bestimmt?
5. Diskutiere das Endresultat .  Vergleiche das relativistische Ergebnis mit dem nichtrelativistischen.

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8.6 Antwort zu H1

Infolge der Symmetrie bietet sich die Benutzung von Zylinderkoordinaten an, wobei die Diskussion auf die - Ebene beschränkt werden kann. Die Anfangsgeschwindigkeit der Elektronen ist also ist Für die Endgeschwindigkeit ist gemäß der Aufgabenstellung

anzusetzen. Zur Diskussion steht die Lagrangebewegungsgleichung (siehe Aufg. 8.5)

wobei aufgrund der Vorgaben die rechte Seite die Form

annimmt

   Integriere die Bewegungsgleichung, führe den magnetische Fluss und den generalisierten Impuls   ein.

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8.6 Antwort zu H2

Betrachtet man anstelle der Zeitableitung das totale Differential, so kann man über die Teilchenbahn von bis integrieren. Auf der linken Seite erhält man

Dieses Resultat kann mit der Definition

in der Form geschrieben werden. Auf der rechten Seite kann das Integral

mit erweitert werden, so dass man den magnetischen Fluss

einführen kann. Das Endergebnis

kann noch umgeschrieben werden.

   Ersetze in dem Resultat den Impuls durch die Energie.  

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8.6 Antwort zu H3

Aus der Energie-Impulsrelation

erhält man durch Auflösung nach dem Impuls

Benutzt man hier die Aussage, dass die Gesamtenergie gleich der Ruheenergie und der kinetischen Energie ist

so findet man (für die Endsituation)

   Wodurch wird die kinetische Energie   in der Endsituation bestimmt?

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8.6 Antwort zu H4

Die kinetische Energie des Elektrons wird nur durch die Spannung zwischen den Kondensatorflächen bestimmt

so dass man nach einfacher Auflösung

erhält.

   Diskutiere das Endresultat .  Vergleiche das relativistische Ergebnis mit dem nichtrelativistischen.

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8.6 Antwort zu H5

Der nichtrelativistische Grenzfall tritt ein, wenn Ladung mal Potentialdifferenz klein gegen die Ruheenergie ist

Zwecks Betrachtung dieses Grenzfalls schreibt man das Endresultat in der Form

Der Vergleich mit dem nichtrelativistischen Ergebnis

ist in (Abb. 0.1) dargestellt.

Abbildung 0.1: Vergleich des magnetischen Flusses als Funktion von

Wie anhand des Resultats zu erwarten, wächst der benötigte magnetische Fluss im relativistischen Fall schneller mit der Spannung bzw. der kinetischen Energie.

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