Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.7

1. Notiere das Dipolmoment, den Hertzvektor und den Poyntingvektor für den nichtrelativistischen Fall.  
2. Berechne das Zeitmittel   für den nichtrelativistischen Fall.
3. Notiere die zuständige Bremsstrahlungsformel   und die darin auftretenden Größen.
4. Werte die Bremsstrahlungsformel für den relativistischen Oszillator   aus.
5. Berechne das Zeitmittel (über eine Schwingungsperiode) im relativistischen Fall.  
6. Vergleiche und diskutiere die Ergebnisse.  

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8.7 Antwort zu H1

Eine oszillierende Ladung mit

wird durch die Ladungsverteilung

beschrieben. Geht man mit dem entsprechenden zeitabhängigen Dipolmoment

in die Formel für den Hertzschen Vektor

ein, so findet man für den Poyntingvektor in der Fernzone (Aufg.  7.16)

mit

das Ergebnis

Der Winkel ist der Winkel zwischen der Beobachtungsrichtung und der Schwingungsrichtung des Dipols () (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Richtung des Poyntingvektors

Es findet keine Abstrahlung in Richtung der Dipolachse statt, die Abstrahlung ist maximal in der - Ebene ( ).

   Berechne das Zeitmittel   für den nichtrelativistischen Fall.

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8.7 Antwort zu H2

Das Zeitmittel des Poyntingvektors erhält man mit

zu

Daraus folgt für die im Zeitmittel abgestrahlte Leistung

Zur Berechnung der gesamten pro Zeiteinheit abgestrahlten Leistung benötigt man

und erhält

   Notiere die zuständige Bremsstrahlungsformel   und die darin auftretenden Größen.

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8.7 Antwort zu H3

Im Fall einer relativistischen Bewegung des Oszillators muss man zur Berechnung der abgestrahlten Leistung die Gleichung (7.104) aus Kap. 7.4.2

auswerten. Sie beschreibt die pro Raumwinkel zu der retardierten Zeit abgestrahlte Energie pro Zeit. In die Gleichung gehen die folgenden Größen ein: ist der Vektor von der Position der Punktladung (zur retardierten Zeit) zu dem Aufpunkt

Der entsprechende Einheitsvektor wird mit bezeichnet

Der Geschwindigkeitsvektor der Punktladung bezogen auf die Lichtgeschwindigkeit sowie der zugehörige Beschleunigungsvektor sind

   Werte die Bremsstrahlungsformel für den relativistischen Oszillator   aus.

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8.7 Antwort zu H4

Bezeichnet man den Winkel zwischen den Vektoren und mit (Abb. 0.2),

Abbildung 2: Zur Definition der Einheitsvektoren , und

so findet man

mit den Einheitsvektoren

Insgesamt erhält man also (benutze zur Abkürzung )

In der Fernzone kann man die Variation des Winkels mit der Zeit vernachlässigen. Der Winkel entspricht dann essentiell dem Winkel zwischen dem Beobachtungspunkt und der Dipolachse

   Berechne das Zeitmittel (über eine Schwingungsperiode) im relativistischen Fall.  

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8.7 Antwort zu H5

Zur Berechnung des Zeitmittels über eine Schwingungsperiode ist das Integral

auszuwerten. Mit den Substitutionen

geht das Integral in

über. Die Berechnung der drei (uneigentlichen) Einzelintegrale ist mühselig. Die Potenz im Zähler muss Punkt um Punkt durch partielle Integration reduziert werden. Die Teilergebnisse (mit der Abkürzung sind

Setzt man diese Teilergebnisse zusammen und ersetzt wieder durch , so erhält man

Die zeitgemittelte Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung ist somit

   Vergleiche und diskutiere die Ergebnisse.  

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8.7 Antwort zu H6

Im Vergleich zu dem nichtrelativistischen Ergebnis

ergibt sich ein relativistischer Korrekturfaktor

Ist der Parameter klein genug, so genügt es die Näherung

zu betrachten. Der Korrekturfaktor ist in (Abb. 0.4) für drei Werte von (obere Kurve: exaktes Resultat, darunterliegende durchbrochene Linie der gleichen Farbe: Näherung bis zur Ordnung ) dargestellt.

Abbildung 0.4: Der relativistische Korrekturfaktor für verschiedene Werte von

Das Polardiagramm (skaliert) der Winkelverteilung des relativistischen Oszillators für die gleichen -Werte zeigt die Abbildung 0.5. Die Schwingungsrichtung des Oszillators ist die Horizontale. Die rote Kurve entspricht dem nichtrelativistischen Resultat.

Abbildung 0.5: Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung für verschiedene Werte von

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