Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.8

1. Wie lauten die zuständigen, relativistischen Bewegungsgleichungen?  
2. Gewinne zwei Erhaltungssätze   aus den Bewegungsgleichungen.
3. Wie gewinnt man eine Differentialgleichung für die Elektronenbahn?   Führe die Rechnung durch.
4. Vereinfache die Differentialgleichung für die Bahn durch eine geeignete Substitution   (siehe nichtrelativistisches Keplerproblem).
5. Klassifiziere und löse die Differentialgleichung   für die Bahn.
6. Zeige, dass im nichtrelativistischen Grenzfall   die Bahnkurven des Keplerproblems auftreten.
7. Notiere die relativistische Lösung   für die Bahngleichung.
8. Beantworte die Fragen bezüglich der Feinstrukturkonstanten.  

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8.8 Antwort zu H1

Wie im nichtrelativistischen Fall, findet die Bewegung in einer Ebene, z.B. der - Ebene statt. Mit der Standardnotation

lauten die Bewegungsgleichungen im relativistischen Fall in ebenen Polarkoordinaten (siehe Aufg. 8.5)

   Gewinne zwei Erhaltungssätze   aus den Bewegungsgleichungen.

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8.8 Antwort zu H2

Es ist nützlich, zuerst die Erhaltungssätze des relativistischen Coulombproblems zu betrachten. Zur Diskussion der Energie ist die Relation (Kap. 8.4.3 (8.57))

zuständig. Schreibt man diese in der Form

so findet man mittels Integration von einem unendlich fernen Punkt (in dem das Potential verschwindet) bis zu einem Punkt im Abstand von der Punktladung

Die Summe aus der Energie des Elektrons (Ruheenergie plus kinetische Energie) und dessen potentieller Energie in dem Coulombfeld ist eine Erhaltungsgröße. Die Bewegungsgleichung für die Winkelkoordinate ergibt den Erhaltungssatz für den Betrag des Drehimpulses. Die Richtung des Drehimpulsvektors wird durch die Wahl der Bahnebene festgelegt

   Wie gewinnt man eine Differentialgleichung für die Elektronenbahn?   Führe die Rechnung durch.

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8.8 Antwort zu H3

Die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate kann, wie im nichtrelativistischen Fall, nicht in einfacher Weise integriert werden. Aus den zwei Erhaltungssätzen kann man jedoch die Differentialgleichung für die Bahn des Elektrons gewinnen. Man beginnt mit der allgemeinen kinematischen Aussage

und substituiert aus dem Drehimpulssatz

in dem ersten Term, sowie

in dem zweiten Term. Man findet dann für

Im zweiten Schritt extrahiert man aus dem Energiesatz einen Ausdruck für die Größe

und benutzt die Relation

um die linke Seite der Differentialgleichung umzuschreiben

Diese Differentialgleichung, in der nur und auftreten, ist die gesuchte Bestimmungsgleichung für die Bahn des Elektrons in dem relativistischen Coulombproblem.

   Vereinfache die Differentialgleichung für die Bahn durch eine geeignete Substitution   (siehe nichtrelativistisches Keplerproblem).

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8.8 Antwort zu H4

Eine Vereinfachung ergibt sich mit der Substitution

zu

Differenziert man beide Seiten nach so findet man wegen

die Differentialgleichung

Bis auf Punkte, an denen ist, gilt somit für die Elektronenbahn die Differentialgleichung

   Klassifiziere und löse die Differentialgleichung   für die Bahn.

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8.8 Antwort zu H5

Die Differentialgleichung

ist eine Differentialgleichung vom harmonischen Oszillatortyp mit einem konstanten inhomogenen Term.

mit

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung für lautet

Wählt man als Achse, auf die der Winkel bezogen wird, den Punkt an dem Geschwindigkeits- und Positionsvektor senkrecht aufeinander stehen, so findet man, dass wegen

gesetzt werden kann. Die so ausgewählte Lösung ist

Ist bzw. , so lautet die Differentialgleichung für die Bahn

Die allgemeine Lösung lautet in diesem Fall

Die Bedingung liefert und somit

Die Konstanten und können durch geeignete Bedingungen (z.B. Anfangsbedingungen wie ) bestimmt werden.

   Zeige, dass im nichtrelativistischen Grenzfall   die Bahnkurven des Keplerproblems auftreten.

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8.8 Antwort zu H6

Um den relativistischen Grenzfall zu betrachten, argumentiert man wie folgt: Der Bruch der den Parameter bestimmt, ist

Nach dem Virialsatz gilt

so dass man im nichtrelativistischen Bereich

setzen kann. Für findet man in der gleichen Abschätzung

Der mit diesen Näherungen gewonnene nichtrelativistische Grenzfall der Bahngleichung

entspricht genau der Kegelschnittgleichung des Keplerproblems, wenn man

setzt ( ist die Gravitationskonstante und die Masse des Zentralkörpers).

   Notiere die relativistische Lösung   für die Bahngleichung.

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8.8 Antwort zu H7

Die vollständige Lösung des relativistischen Falls kann am besten in der Form

diskutiert werden. Dabei sind die Parameter

Die verbleibende Integrationskonstante kann z.B. durch Vorgabe des Anfangspunktes der Bahn

zu

festgelegt werden.

   Beantworte die Fragen bezüglich der Feinstrukturkonstanten.  

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8.8 Antwort zu H8

Falls der minimal mögliche Drehimpuls den Wert hat, gilt für den Parameter

mit

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